حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(1 + \frac{1}{x})}^{3}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = 1 + \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 + \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 + \frac{1}{x}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 + \frac{1}{x}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + \frac{1}{x}$ .

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [1 + \frac{1}{x}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

خطوة 2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

خطوة 2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} (- x^{- 2})$

خطوة 2.5

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} x^{- 2}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 3.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{1}{x^{2}}$ و $- 3$ .

$\frac{- 3}{x^{2}} {(1 + \frac{1}{x})}^{2}$

خطوة 3.2.2

اجمع $\frac{- 3}{x^{2}}$ و ${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ .

$\frac{- 3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 3.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \frac{3 {(\frac{x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 3.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{3 {(\frac{x + 1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 3.3.3

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{x + 1}{x}$ .

$- \frac{3 \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

خطوة 3.4

اجمع $3$ و $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$- \frac{\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

خطوة 3.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- (\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

خطوة 3.6

اجمع.

$- \frac{3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}}$

خطوة 3.7

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2 + 2}}$

خطوة 3.7.2

أضف $2$ و $2$ .

$- \frac{3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1}{x^{4}}$

خطوة 3.8

اضرب $3 {(x + 1)}^{2}$ في $1$ .

$- \frac{3 {(x + 1)}^{2}}{x^{4}}$