حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = e^{- x} \sin (x)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (e^{- x} \sin (x))$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = e^{- x}$ و $g (y) = \sin (x)$ .

$e^{- x} \frac{d}{d y} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{- x}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = \sin (y)$ و $g (y) = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x$ .

$e^{- x} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d y} [x]) + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{- x}]$

خطوة 3.2.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$e^{- x} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d y} [x]) + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{- x}]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x$ .

$e^{- x} (\cos (x) \frac{d}{d y} [x]) + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{- x}]$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$e^{- x} (\cos (x) x') + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{- x}]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = e^{y}$ و $g (y) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $- x$ .

$e^{- x} (\cos (x) x') + \sin (x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d y} [- x])$

خطوة 3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{- x} (\cos (x) x') + \sin (x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d y} [- x])$

خطوة 3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- x$ .

$e^{- x} (\cos (x) x') + \sin (x) (e^{- x} \frac{d}{d y} [- x])$

خطوة 3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [x]$ .

$e^{- x} (\cos (x) x') + \sin (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d y} [x]))$

خطوة 3.6

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$e^{- x} (\cos (x) x') + \sin (x) (e^{- x} (- x'))$

خطوة 3.7

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{- x} \cos (x) x' - e^{- x} \sin (x) x'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$1 = e^{- x} \cos (x) x' - e^{- x} \sin (x) x'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $e^{- x} \cos (x) x' - e^{- x} \sin (x) x' = 1$ .

$e^{- x} \cos (x) x' - e^{- x} \sin (x) x' = 1$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- x} \cos (x) x' - e^{- x} \sin (x) x'$ .

$x' e^{- x} \cos (x) - x' e^{- x} \sin (x) = 1$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $x' e^{- x}$ من $x' e^{- x} \cos (x) - x' e^{- x} \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $x' e^{- x}$ من $- x' e^{- x} \sin (x)$ .

$x' e^{- x} \cos (x) + x' e^{- x} (- 1 \sin (x)) = 1$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $x' e^{- x}$ من $x' e^{- x} \cos (x) + x' e^{- x} (- 1 \sin (x))$ .

$x' e^{- x} (\cos (x) - 1 \sin (x)) = 1$

خطوة 5.4

أعِد كتابة $- 1 \sin (x)$ بالصيغة $- \sin (x)$ .

$x' e^{- x} (\cos (x) - \sin (x)) = 1$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $x' e^{- x} (\cos (x) - \sin (x)) = 1$ على $e^{- x} (\cos (x) - \sin (x))$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $x' e^{- x} (\cos (x) - \sin (x)) = 1$ على $e^{- x} (\cos (x) - \sin (x))$ .

$\frac{x' e^{- x} (\cos (x) - \sin (x))}{e^{- x} (\cos (x) - \sin (x))} = \frac{1}{e^{- x} (\cos (x) - \sin (x))}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x' e^{- x} (\cos (x) - \sin (x))}{e^{- x} (\cos (x) - \sin (x))} = \frac{1}{e^{- x} (\cos (x) - \sin (x))}$

خطوة 5.5.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x' (\cos (x) - \sin (x))}{\cos (x) - \sin (x)} = \frac{1}{e^{- x} (\cos (x) - \sin (x))}$

خطوة 5.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x) - \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x' (\cos (x) - \sin (x))}{\cos (x) - \sin (x)} = \frac{1}{e^{- x} (\cos (x) - \sin (x))}$

خطوة 5.5.2.2.2

اقسِم $x'$ على $1$ .

$x' = \frac{1}{e^{- x} (\cos (x) - \sin (x))}$

خطوة 6

استبدِل $x'$ بـ $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{e^{- x} (\cos (x) - \sin (x))}$