حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x^{2}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $x = \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = \cos (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\cos (t)$ موجبة.

$\int \frac{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}}{\sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{\sqrt{\cos^{2} (t)}}{\sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

خطوة 2.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \frac{\cos (t)}{\sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اجمع $\frac{\cos (t)}{\sin^{2} (t)}$ و $\cos (t)$ .

$\int \frac{\cos (t) \cos (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

خطوة 2.2.2

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

خطوة 2.2.3

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

خطوة 2.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (t)} d t$

خطوة 2.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

خطوة 2.2.6

حوّل من $\frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)}$ إلى $\cot^{2} (t)$ .

$\int \cot^{2} (t) d t$

خطوة 3

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\cot^{2} (t)$ بحيث تصبح $- 1 + \csc^{2} (t)$ .

$\int - 1 + \csc^{2} (t) d t$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int - 1 d t + \int \csc^{2} (t) d t$

خطوة 5

طبّق قاعدة الثابت.

$- t + C + \int \csc^{2} (t) d t$

خطوة 6

بما أن مشتق $- \cot (t)$ هو $\csc^{2} (t)$ ، إذن تكامل $\csc^{2} (t)$ هو $- \cot (t)$ .

$- t + C - \cot (t) + C$

خطوة 7

بسّط.

$- t - \cot (t) + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (x)$ .

$- \arcsin (x) - \cot (\arcsin (x)) + C$