حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x^{3} + x^{2} - x + 1}{x^{3}} d x$

خطوة 1

انقُل $x^{3}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int (x^{3} + x^{2} - x + 1) {(x^{3})}^{- 1} d x$

خطوة 2

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{3} + x^{2} - x + 1) x^{3 \cdot - 1} d x$

خطوة 2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\int (x^{3} + x^{2} - x + 1) x^{- 3} d x$

خطوة 3

وسّع $(x^{3} + x^{2} - x + 1) x^{- 3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (x^{3} + x^{2} - x) x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (x^{3} + x^{2}) x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int x^{3} x^{- 3} + x^{2} x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

خطوة 3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{3 - 3} + x^{2} x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

خطوة 3.5

اطرح $3$ من $3$ .

$\int x^{0} + x^{2} x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

خطوة 3.6

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\int 1 + x^{2} x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

خطوة 3.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 1 + x^{2 - 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

خطوة 3.8

اطرح $3$ من $2$ .

$\int 1 + x^{- 1} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

خطوة 3.9

أخرِج السالب.

$\int 1 + x^{- 1} - (x \cdot x^{- 3}) + 1 x^{- 3} d x$

خطوة 3.10

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int 1 + x^{- 1} - (x^{1} x^{- 3}) + 1 x^{- 3} d x$

خطوة 3.11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 1 + x^{- 1} - x^{1 - 3} + 1 x^{- 3} d x$

خطوة 3.12

اطرح $3$ من $1$ .

$\int 1 + x^{- 1} - x^{- 2} + 1 x^{- 3} d x$

خطوة 3.13

اضرب $x^{- 3}$ في $1$ .

$\int 1 + x^{- 1} - x^{- 2} + x^{- 3} d x$

خطوة 3.14

أعِد ترتيب $1$ و $x^{- 1}$ .

$\int x^{- 1} + 1 - x^{- 2} + x^{- 3} d x$

خطوة 3.15

انقُل $1$ .

$\int x^{- 1} - x^{- 2} + 1 + x^{- 3} d x$

خطوة 3.16

انقُل $1$ .

$\int x^{- 1} - x^{- 2} + x^{- 3} + 1 d x$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int x^{- 1} d x + \int - x^{- 2} d x + \int x^{- 3} d x + \int d x$

خطوة 5

تكامل $x^{- 1}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int - x^{- 2} d x + \int x^{- 3} d x + \int d x$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| x |) + C - \int x^{- 2} d x + \int x^{- 3} d x + \int d x$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C) + \int x^{- 3} d x + \int d x$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C + \int d x$

خطوة 9

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C + x + C$

خطوة 10

بسّط.

$\ln (| x |) + \frac{1}{x} - \frac{1}{2 x^{2}} + x + C$