حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{2}^{4} \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $x = 2 \sec (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $2 \sec (t) \tan (t)$ موجبة.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{2^{2} \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.1.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل $4$ من $4 \sec^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.1.3

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.1.4

أخرِج العامل $4$ من $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.1.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.1.6

أعِد كتابة $4 \tan^{2} (t)$ بالصيغة ${(2 \tan (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2 \sec (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $2 \sec (t)$ من $2 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\tan (t))) d t$

خطوة 2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 \tan (t) \tan (t) d t$

خطوة 3

ارفع $\tan (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

خطوة 4

ارفع $\tan (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

خطوة 5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

خطوة 6

أضف $1$ و $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 \tan^{2} (t) d t$

خطوة 7

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (t) d t$

خطوة 8

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (t)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$2 \int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 + \sec^{2} (t) d t$

خطوة 9

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$2 (\int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 d t + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (t) d t)$

خطوة 10

طبّق قاعدة الثابت.

$2 (- t]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (t) d t)$

خطوة 11

بما أن مشتق $\tan (t)$ هو $\sec^{2} (t)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (t)$ هو $\tan (t)$ .

$2 (- t]_{0}^{\frac{π}{3}} + \tan (t)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

خطوة 12

اجمع $- t]_{0}^{\frac{π}{3}}$ و $\tan (t)]_{0}^{\frac{π}{3}}$ .

$2 (- t + \tan (t)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

خطوة 13

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

احسِب قيمة $- t + \tan (t)$ في $\frac{π}{3}$ وفي $0$ .

$2 ((- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3})) - (- 0 + \tan (0)))$

خطوة 13.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - (0 + \tan (0)))$

خطوة 13.2.2

أضف $0$ و $\tan (0)$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - \tan (0))$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

القيمة الدقيقة لـ $\tan (\frac{π}{3})$ هي $\sqrt{3}$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - \tan (0))$

خطوة 14.2

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - 0)$

خطوة 14.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} + 0)$

خطوة 14.4

أضف $- \frac{π}{3} + \sqrt{3}$ و $0$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3})$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (- \frac{π}{3}) + 2 \sqrt{3}$

خطوة 15.2

اضرب $2 (- \frac{π}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3}$

خطوة 15.2.2

اجمع $- 2$ و $\frac{π}{3}$ .

$\frac{- 2 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

خطوة 15.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

خطوة 16

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{2 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

الصيغة العشرية:

$1.36970651 \dots$

خطوة 17