حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int t e^{- 3 t} d t$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = t$ و $d v = e^{- 3 t}$ .

$t (- \frac{1}{3} e^{- 3 t}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 t} d t$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $e^{- 3 t}$ و $\frac{1}{3}$ .

$t (- \frac{e^{- 3 t}}{3}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 t} d t$

خطوة 2.2

اجمع $t$ و $\frac{e^{- 3 t}}{3}$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 t} d t$

خطوة 3

بما أن $- \frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $- \frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} - (- \frac{1}{3} \int e^{- 3 t} d t)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} + 1 (\frac{1}{3} \int e^{- 3 t} d t)$

خطوة 4.2

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{- 3 t} d t$

خطوة 5

لنفترض أن $u = - 3 t$ . إذن $d u = - 3 d t$ ، لذا $- \frac{1}{3} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = - 3 t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $- 3 t$ .

$\frac{d}{d t} [- 3 t]$

خطوة 5.1.2

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- 3 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- 3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 3 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

خطوة 5.1.4

اضرب $- 3$ في $1$ .

$- 3$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u$

خطوة 6.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} + \frac{1}{3} \int - \frac{e^{u}}{3} d u$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} + \frac{1}{3} (- \int \frac{e^{u}}{3} d u)$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} + \frac{1}{3} (- (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u$

خطوة 9.2

اضرب $3$ في $3$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u$

خطوة 10

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C)$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أعِد كتابة $- \frac{t e^{- 3 t}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{3} t e^{- 3 t} - \frac{1}{9} e^{u} + C$ .

$- \frac{1}{3} t e^{- 3 t} - \frac{1}{9} e^{u} + C$

خطوة 11.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اجمع $t$ و $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{t}{3} e^{- 3 t} - \frac{1}{9} e^{u} + C$

خطوة 11.2.2

اجمع $e^{- 3 t}$ و $\frac{t}{3}$ .

$- \frac{e^{- 3 t} t}{3} - \frac{1}{9} e^{u} + C$

خطوة 12

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 3 t$ .

$- \frac{e^{- 3 t} t}{3} - \frac{1}{9} e^{- 3 t} + C$

خطوة 13

اجمع $e^{- 3 t}$ و $\frac{1}{9}$ .

$- \frac{e^{- 3 t} t}{3} - \frac{e^{- 3 t}}{9} + C$

خطوة 14

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{1}{3} e^{- 3 t} t - \frac{1}{9} e^{- 3 t} + C$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

اجمع $e^{- 3 t}$ و $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{e^{- 3 t}}{3} t - \frac{1}{9} e^{- 3 t} + C$

خطوة 15.2

اجمع $t$ و $\frac{e^{- 3 t}}{3}$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} - \frac{1}{9} e^{- 3 t} + C$

خطوة 16

اجمع $e^{- 3 t}$ و $\frac{1}{9}$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} - \frac{e^{- 3 t}}{9} + C$

خطوة 17

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{1}{3} t e^{- 3 t} - \frac{1}{9} e^{- 3 t} + C$