حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} \frac{- x^{2} - x + 11}{7 x^{2} - x + 2}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} - x + 11}{lim_{x \to \infty} 7 x^{2} - x + 2}$

خطوة 1.2

النهاية عند اللانهاية لمتعدد حدود معامله الرئيسي سالب تساوي قيمة غير متناهية سالبة.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 7 x^{2} - x + 2}$

خطوة 1.3

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{- \infty}{\infty}$

خطوة 1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{- \infty}{\infty}$

خطوة 2

بما أن $\frac{- \infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{- x^{2} - x + 11}{7 x^{2} - x + 2} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [- x^{2} - x + 11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [- x^{2} - x + 11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x^{2} - x + 11$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

خطوة 3.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

خطوة 3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

خطوة 3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

خطوة 3.4.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1 + \frac{d}{d x} [11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

خطوة 3.5

بما أن $11$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $11$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1 + 0}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

خطوة 3.6

أضف $- 2 x - 1$ و $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

خطوة 3.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 x^{2} - x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]}$

خطوة 3.8

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]}$

خطوة 3.8.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]}$

خطوة 3.8.3

اضرب $2$ في $7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{14 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]}$

خطوة 3.9

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{14 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]}$

خطوة 3.9.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{14 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]}$

خطوة 3.9.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{14 x - 1 + \frac{d}{d x} [2]}$

خطوة 3.10

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{14 x - 1 + 0}$

خطوة 3.11

أضف $14 x - 1$ و $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{14 x - 1}$

خطوة 4

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2 x}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{14 x}{x} - \frac{1}{x}}$

خطوة 5

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2 x}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{14 x}{x} - \frac{1}{x}}$

خطوة 5.1.2

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 - \frac{1}{x}}{\frac{14 x}{x} - \frac{1}{x}}$

خطوة 5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 - \frac{1}{x}}{\frac{14 x}{x} - \frac{1}{x}}$

خطوة 5.2.2

اقسِم $14$ على $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 - \frac{1}{x}}{14 - \frac{1}{x}}$

خطوة 5.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - 2 - \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 14 - \frac{1}{x}}$

خطوة 5.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{- lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 14 - \frac{1}{x}}$

خطوة 5.5

احسِب قيمة حد $2$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 14 - \frac{1}{x}}$

خطوة 6

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$\frac{- 2 - 0}{lim_{x \to \infty} 14 - \frac{1}{x}}$

خطوة 7

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{- 2 - 0}{lim_{x \to \infty} 14 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

خطوة 7.2

احسِب قيمة حد $14$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{- 2 - 0}{14 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

خطوة 8

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$\frac{- 2 - 0}{14 - 0}$

خطوة 9

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{- 2 + 0}{14 - 0}$

خطوة 9.1.2

أضف $- 2$ و $0$ .

$\frac{- 2}{14 - 0}$

خطوة 9.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{- 2}{14 + 0}$

خطوة 9.2.2

أضف $14$ و $0$ .

$\frac{- 2}{14}$

خطوة 9.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $14$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{14}$

خطوة 9.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $14$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 7}$

خطوة 9.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 7}$

خطوة 9.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{7}$

خطوة 9.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{7}$