حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{2} e^{x}}{x^{2} + e^{x}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2} e^{x}$ و $g (x) = x^{2} + e^{x}$ .

$\frac{(x^{2} + e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] - x^{2} e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + e^{x}]}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + e^{x}]}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + e^{x}]}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - x^{2} e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + e^{x}]}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 4.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - x^{2} e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - x^{2} e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - x^{2} e^{x} (2 x + e^{x})}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + 2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.2.1.2

وسّع $(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + 2 e^{x} x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} (x^{2} e^{x} + 2 e^{x} x) + e^{x} (x^{2} e^{x} + 2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} (x^{2} e^{x}) + x^{2} (2 e^{x} x) + e^{x} (x^{2} e^{x} + 2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} (x^{2} e^{x}) + x^{2} (2 e^{x} x) + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.2.1.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.3.1

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.3.1.1

انقُل $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} e^{x} + x^{2} (2 e^{x} x) + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.2.1.3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{2 + 2} e^{x} + x^{2} (2 e^{x} x) + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.2.1.3.1.3

أضف $2$ و $2$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + x^{2} (2 e^{x} x) + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.2.1.3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{2} (e^{x} x) + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.2.1.3.3

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.3.3.1

انقُل $x$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 (x \cdot x^{2}) e^{x} + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.2.1.3.3.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.3.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 (x^{1} x^{2}) e^{x} + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.2.1.3.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{1 + 2} e^{x} + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.2.1.3.3.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.2.1.3.4

اضرب $e^{x}$ في $e^{x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.3.4.1

انقُل $e^{x}$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{x} e^{x} x^{2} + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.2.1.3.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{x + x} x^{2} + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.2.1.3.4.3

أضف $x$ و $x$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.2.1.3.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{x} (e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.2.1.3.6

اضرب $e^{x}$ في $e^{x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.3.6.1

انقُل $e^{x}$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 (e^{x} e^{x}) x - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.2.1.3.6.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{x + x} x - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.2.1.3.6.3

أضف $x$ و $x$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.4.1

انقُل $x$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - (x \cdot x^{2}) e^{x} \cdot 2 - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.2.1.4.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.4.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - (x^{1} x^{2}) e^{x} \cdot 2 - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.2.1.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - x^{1 + 2} e^{x} \cdot 2 - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.2.1.4.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - x^{3} e^{x} \cdot 2 - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.2.1.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - 2 x^{3} e^{x} - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.2.1.6

اضرب $e^{x}$ في $e^{x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.6.1

انقُل $e^{x}$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - 2 x^{3} e^{x} - x^{2} (e^{x} e^{x})}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.2.1.6.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - 2 x^{3} e^{x} - x^{2} e^{x + x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.2.1.6.3

أضف $x$ و $x$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - 2 x^{3} e^{x} - x^{2} e^{2 x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - 2 x^{3} e^{x} - x^{2} e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اطرح $2 x^{3} e^{x}$ من $2 x^{3} e^{x}$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x + 0 - x^{2} e^{2 x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.2.2.2

أضف $x^{4} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x$ و $0$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - x^{2} e^{2 x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.2.2.3

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $e^{2 x} x^{2}$ و $- x^{2} e^{2 x}$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - e^{2 x} x^{2}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.2.2.4

اطرح $e^{2 x} x^{2}$ من $e^{2 x} x^{2}$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 e^{2 x} x + 0}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.2.2.5

أضف $x^{4} e^{x} + 2 e^{2 x} x$ و $0$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 e^{2 x} x}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.2.3

أعِد ترتيب العوامل في $x^{4} e^{x} + 2 e^{2 x} x$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x e^{2 x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{e^{x} x^{4} + 2 e^{2 x} x}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.4

أخرِج العامل $x$ من $e^{x} x^{4} + 2 e^{2 x} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أخرِج العامل $x$ من $e^{x} x^{4}$ .

$\frac{x (e^{x} x^{3}) + 2 e^{2 x} x}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.4.2

أخرِج العامل $x$ من $2 e^{2 x} x$ .

$\frac{x (e^{x} x^{3}) + x (2 e^{2 x})}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.4.3

أخرِج العامل $x$ من $x (e^{x} x^{3}) + x (2 e^{2 x})$ .

$\frac{x (e^{x} x^{3} + 2 e^{2 x})}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.5

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{x (e^{x} x^{3} + 2 e^{2 x})}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$ .

$\frac{x (x^{3} e^{x} + 2 e^{2 x})}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$