حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x^{- 1} - x^{- 2} + x^{- 3}}{x^{2}} d x$

خطوة 1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $x^{- 3}$ من $x^{- 1} - x^{- 2} + x^{- 3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $x^{- 3}$ من $x^{- 1}$ .

$\int \frac{x^{- 3} x^{2} - x^{- 2} + x^{- 3}}{x^{2}} d x$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $x^{- 3}$ من $- x^{- 2}$ .

$\int \frac{x^{- 3} x^{2} + x^{- 3} (- x) + x^{- 3}}{x^{2}} d x$

خطوة 1.1.3

اضرب في $1$ .

$\int \frac{x^{- 3} x^{2} + x^{- 3} (- x) + x^{- 3} \cdot 1}{x^{2}} d x$

خطوة 1.1.4

أخرِج العامل $x^{- 3}$ من $x^{- 3} x^{2} + x^{- 3} (- x)$ .

$\int \frac{x^{- 3} (x^{2} - x) + x^{- 3} \cdot 1}{x^{2}} d x$

خطوة 1.1.5

أخرِج العامل $x^{- 3}$ من $x^{- 3} (x^{2} - x) + x^{- 3} \cdot 1$ .

$\int \frac{x^{- 3} (x^{2} - x + 1)}{x^{2}} d x$

خطوة 1.2

انقُل $x^{- 3}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} x^{3}} d x$

خطوة 1.3

اضرب $x^{2}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2 + 3}} d x$

خطوة 1.3.2

أضف $2$ و $3$ .

$\int \frac{x^{2} - x + 1}{x^{5}} d x$

خطوة 2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل $x^{5}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int (x^{2} - x + 1) {(x^{5})}^{- 1} d x$

خطوة 2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{5})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{2} - x + 1) x^{5 \cdot - 1} d x$

خطوة 2.2.2

اضرب $5$ في $- 1$ .

$\int (x^{2} - x + 1) x^{- 5} d x$

خطوة 3

وسّع $(x^{2} - x + 1) x^{- 5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (x^{2} - x) x^{- 5} + 1 x^{- 5} d x$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int x^{2} x^{- 5} - x \cdot x^{- 5} + 1 x^{- 5} d x$

خطوة 3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{2 - 5} - x \cdot x^{- 5} + 1 x^{- 5} d x$

خطوة 3.4

اطرح $5$ من $2$ .

$\int x^{- 3} - x \cdot x^{- 5} + 1 x^{- 5} d x$

خطوة 3.5

أخرِج السالب.

$\int x^{- 3} - (x \cdot x^{- 5}) + 1 x^{- 5} d x$

خطوة 3.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int x^{- 3} - (x^{1} x^{- 5}) + 1 x^{- 5} d x$

خطوة 3.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{- 3} - x^{1 - 5} + 1 x^{- 5} d x$

خطوة 3.8

اطرح $5$ من $1$ .

$\int x^{- 3} - x^{- 4} + 1 x^{- 5} d x$

خطوة 3.9

اضرب $x^{- 5}$ في $1$ .

$\int x^{- 3} - x^{- 4} + x^{- 5} d x$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int x^{- 3} d x + \int - x^{- 4} d x + \int x^{- 5} d x$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C + \int - x^{- 4} d x + \int x^{- 5} d x$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - \int x^{- 4} d x + \int x^{- 5} d x$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int x^{- 5} d x$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $x^{- 3}$ و $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int x^{- 5} d x$

خطوة 8.2

انقُل $x^{- 3}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int x^{- 5} d x$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 5}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - \frac{1}{4} x^{- 4} + C$

خطوة 10

بسّط.

$- \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 x^{3}} - \frac{1}{4} x^{- 4} + C$