حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{\infty} \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 1

اكتب التكامل في صورة نهاية عند اقتراب $t$ من $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 2.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 2.3

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

خطوة 2.4

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

خطوة 2.4.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

خطوة 2.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = - x^{\frac{1}{2}}$ . إذن $d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ ، لذا $1 d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = - x^{\frac{1}{2}}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 3.1.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 3.1.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 3.1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 3.1.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

خطوة 3.1.7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 3.1.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 3.1.9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 3.1.10

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = - x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = - 1^{\frac{1}{2}}$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

خطوة 3.3.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$u_{lower} = - 1$

خطوة 3.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = - x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = - t^{\frac{1}{2}}$

خطوة 3.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - t^{\frac{1}{2}}$

خطوة 3.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$lim_{t \to \infty} \int_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 2 e^{u} d u$

خطوة 4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{u} d u$

خطوة 5

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$lim_{t \to \infty} - 2 \int_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}} e^{u} d u$

خطوة 6

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - 2 (e^{u}]_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 7

احسِب قيمة $e^{u}$ في $- t^{\frac{1}{2}}$ وفي $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} - 2 (e^{- t^{\frac{1}{2}}} - e^{- 1})$

خطوة 8

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

انقُل الحد $- 2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$- 2 lim_{t \to \infty} e^{- t^{\frac{1}{2}}} - e^{- 1}$

خطوة 8.1.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $\infty$ .

$- 2 (lim_{t \to \infty} e^{- t^{\frac{1}{2}}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1})$

خطوة 8.2

بما أن الأُس $- t^{\frac{1}{2}}$ يقترب من $- \infty$ ، إذن الكمية $e^{- t^{\frac{1}{2}}}$ تقترب من $0$ .

$- 2 (0 - lim_{t \to \infty} e^{- 1})$

خطوة 8.3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

احسِب قيمة حد $e^{- 1}$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $\infty$ .

$- 2 (0 - e^{- 1})$

خطوة 8.3.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (0 - \frac{1}{e})$

خطوة 8.3.2.2

اطرح $\frac{1}{e}$ من $0$ .

$- 2 (- \frac{1}{e})$

خطوة 8.3.2.3

اضرب $- 2 (- \frac{1}{e})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.3.1

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$2 \frac{1}{e}$

خطوة 8.3.2.3.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{2}{e}$

الصيغة العشرية:

$0.73575888 \dots$