حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} - 5}{2^{x} + 7}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{x} - 5}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{x} - lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

خطوة 1.1.2.2

بما أن الأُس $x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $2^{x}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{\infty - lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

خطوة 1.1.2.3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

احسِب قيمة حد $5$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{\infty - 1 \cdot 5}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

خطوة 1.1.2.3.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.2.1

اضرب $- 1$ في $5$ .

$\frac{\infty - 5}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

خطوة 1.1.2.3.2.2

ما لا نهاية زائد أو ناقص أي عدد يساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + lim_{x \to \infty} 7}$

خطوة 1.1.3.2

بما أن الأُس $x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $2^{x}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 7}$

خطوة 1.1.3.3

احسِب قيمة حد $7$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + 7}$

خطوة 1.1.3.4

ما لا نهاية زائد أو ناقص أي عدد يساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 1.1.3.5

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 1.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} - 5}{2^{x} + 7} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x} - 5]}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x} - 5]}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2^{x} - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

خطوة 1.3.4

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2) + 0}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

خطوة 1.3.5

أضف $2^{x} \ln (2)$ و $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

خطوة 1.3.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2^{x} + 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [7]}$

خطوة 1.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2) + \frac{d}{d x} [7]}$

خطوة 1.3.8

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2) + 0}$

خطوة 1.3.9

أضف $2^{x} \ln (2)$ و $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2)}$

خطوة 1.4

اختزِل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2)}$

خطوة 1.4.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2)}{\ln (2)}$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2)}{\ln (2)}$

خطوة 1.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to \infty} 1$

خطوة 2

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$1$