حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{x - x^{2}}{\sqrt{x}}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x - x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 2

أخرِج العامل $x$ من $x - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{1} - x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot 1 - x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 2.3

أخرِج العامل $x$ من $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot 1 + x (- x)}{x^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 2.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot 1 + x (- x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (1 - x)}{x^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 3

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d}{d x} [x (1 - x) x^{- \frac{1}{2}}]$

خطوة 4

اضرب $x$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} x (1 - x)]$

خطوة 4.2

اضرب $x^{- \frac{1}{2}}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} x^{1} (1 - x)]$

خطوة 4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + 1} (1 - x)]$

خطوة 4.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (1 - x)]$

خطوة 4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1 + 2}{2}} (1 - x)]$

خطوة 4.5

أضف $- 1$ و $2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} (1 - x)]$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 1 - x$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 6.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 6.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [- x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 6.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d x} [x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 6.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 1) + (1 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 6.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 + (1 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 6.6.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 1 \cdot x^{\frac{1}{2}} + (1 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 6.6.3

أعِد كتابة $- 1 x^{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + (1 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 6.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + (1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 7

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + (1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 8

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + (1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- x^{\frac{1}{2}} + (1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + (1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

خطوة 10.2

اطرح $2$ من $1$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + (1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 11

انقُل السالب أمام الكسر.

$- x^{\frac{1}{2}} + (1 - x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 12

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + (1 - x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 13

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + (1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- x^{\frac{1}{2}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 14.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

اضرب $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ في $1$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 14.2.2

اجمع $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 14.2.3

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 14.2.4

اضرب $x$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.4.1

اضرب $x$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.4.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 14.2.4.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 14.2.4.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 14.2.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2}$

خطوة 14.2.4.4

اطرح $1$ من $2$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 14.2.5

لكتابة $- x^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 14.2.6

اجمع $- x^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 14.2.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 14.2.8

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 14.2.9

اطرح $x^{\frac{1}{2}}$ من $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 14.2.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 14.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$