حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int (\frac{{(\sqrt{5} - \sqrt{x})}^{2}}{\sqrt{x}}) d x = 10 \sqrt{x} - 2 x \sqrt{5} + \frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + C$

خطوة 1

احذِف الأقواس.

$\int \frac{{(\sqrt{5} - \sqrt{x})}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 2.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 2.3

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int {(\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

خطوة 2.4

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

خطوة 2.4.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\int {(\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

خطوة 2.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int {(\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = \sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}}$ . إذن $d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ ، لذا $1 d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = \sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sqrt{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.1.2.2

بما أن $\sqrt{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $\sqrt{5}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 3.1.3.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 3.1.3.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 3.1.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 3.1.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

خطوة 3.1.3.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 3.1.3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$0 - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 3.1.3.8

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 3.1.3.9

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.1.4

اطرح $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ من $0$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int - 1 \cdot 2 u^{2} d u$

خطوة 4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\int - 2 u^{2} d u$

خطوة 5

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$- 2 \int u^{2} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة $- 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ بالصيغة $- 2 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ .

$- 2 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 2}{3} u^{3} + C$

خطوة 7.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{3} u^{3} + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{3} {(\sqrt{5} - x^{\frac{1}{2}})}^{3} + C$