حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{- \infty}^{0} e^{2 x} d x$

خطوة 1

اكتب التكامل في صورة نهاية عند اقتراب $t$ من $- \infty$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} e^{2 x} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 2.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 t$

خطوة 2.3

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0$

خطوة 2.4

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{upper} = 0$

خطوة 2.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 2 t$

$u_{upper} = 0$

خطوة 2.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$lim_{t \to - \infty} \int_{2 t}^{0} e^{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 3

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{2 t}^{0} \frac{e^{u}}{2} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$lim_{t \to - \infty} \frac{1}{2} \int_{2 t}^{0} e^{u} d u$

خطوة 5

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{1}{2} e^{u}]_{2 t}^{0}$

خطوة 6

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{u}]_{2 t}^{0}$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{e^{u}]_{2 t}^{0}}{2}$

خطوة 7

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $e^{u}$ في $0$ وفي $2 t$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{(e^{0}) - e^{2 t}}{2}$

خطوة 7.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{1 - e^{2 t}}{2}$

خطوة 8

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

انقُل الحد $\frac{1}{2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to - \infty} 1 - e^{2 t}$

خطوة 8.1.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $- \infty$ .

$\frac{1}{2} (lim_{t \to - \infty} 1 - lim_{t \to - \infty} e^{2 t})$

خطوة 8.1.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $- \infty$ .

$\frac{1}{2} (1 - lim_{t \to - \infty} e^{2 t})$

خطوة 8.2

بما أن الأُس $2 t$ يقترب من $- \infty$ ، إذن الكمية $e^{2 t}$ تقترب من $0$ .

$\frac{1}{2} (1 - 0)$

خطوة 8.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اطرح $0$ من $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 8.3.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{2}$

الصيغة العشرية:

$0.5$