حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{2 d y}{3 d x} = {(x - 2)}^{2}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج عامل $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{2}{3} \frac{d y}{d x} = {(x - 2)}^{2}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{2}{3} d y = {(x - 2)}^{2} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{2}{3} d y = \int {(x - 2)}^{2} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{2}{3} y + C_{1} = \int {(x - 2)}^{2} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u = x - 2$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u = x - 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

خطوة 2.3.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.3.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.3.1.1.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.3.1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{2}{3} y + C_{1} = \int u^{2} d u$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{2}{3} y + C_{1} = \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 2$ .

$\frac{2}{3} y + C_{1} = \frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{2}{3} y = \frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} y) = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $\frac{3}{2} (\frac{2}{3} y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $y$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3} = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3} = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

خطوة 3.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2 y$ .

$\frac{1}{2} (2 (y)) = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

خطوة 3.2.1.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

خطوة 3.2.1.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $\frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و ${(x - 2)}^{3}$ .

$y = \frac{3}{2} (\frac{{(x - 2)}^{3}}{3} + K)$

خطوة 3.2.2.1.2

لكتابة $K$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{3}{2} (\frac{{(x - 2)}^{3}}{3} + K \cdot \frac{3}{3})$

خطوة 3.2.2.1.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

اجمع $K$ و $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{3}{2} (\frac{{(x - 2)}^{3}}{3} + \frac{K \cdot 3}{3})$

خطوة 3.2.2.1.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 2)}^{3} + K \cdot 3}{3}$

خطوة 3.2.2.1.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 2)}^{3} + K \cdot 3}{3}$

خطوة 3.2.2.1.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{1}{2} ({(x - 2)}^{3} + K \cdot 3)$

خطوة 3.2.2.1.4

انقُل $3$ إلى يسار $K$ .

$y = \frac{1}{2} ({(x - 2)}^{3} + 3 K)$

خطوة 3.2.2.1.5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{1}{2} {(x - 2)}^{3} + \frac{1}{2} (3 K)$

خطوة 3.2.2.1.5.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x - 2)}^{3}$ .

$y = \frac{{(x - 2)}^{3}}{2} + \frac{1}{2} (3 K)$

خطوة 3.2.2.1.6

اضرب $\frac{1}{2} (3 K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.6.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{{(x - 2)}^{3}}{2} + \frac{3}{2} K$

خطوة 3.2.2.1.6.2

اجمع $\frac{3}{2}$ و $K$ .

$y = \frac{{(x - 2)}^{3}}{2} + \frac{3 K}{2}$

خطوة 3.2.2.1.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{{(x - 2)}^{3} + 3 K}{2}$

خطوة 3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$y = \frac{x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 2 + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3} + 3 K}{2}$

خطوة 3.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اضرب $- 2$ في $3$ .

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3} + 3 K}{2}$

خطوة 3.3.2.2

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 3 x \cdot 4 + {(- 2)}^{3} + 3 K}{2}$

خطوة 3.3.2.3

اضرب $4$ في $3$ .

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + {(- 2)}^{3} + 3 K}{2}$

خطوة 3.3.2.4

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8 + 3 K}{2}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + K}{2}$