حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(\ln (x))}^{\ln (x)}$

خطوة 1

افترض أن $y = f (x)$ ، خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({(\ln (x))}^{\ln (x)})$

خطوة 2

وسّع $\ln ({(\ln (x))}^{\ln (x)})$ بنقل $\ln (x)$ خارج اللوغاريتم.

$\ln (y) = \ln (x) \ln (\ln (x))$

خطوة 3

أوجِد مشتقة العبارة باستخدام قاعدة السلسلة، مع الأخذ في الاعتبار أن $y$ هو دالة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة الطرف الأيسر $\ln (y)$ باستخدام قاعدة السلسلة.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \ln (\ln (x))$

خطوة 3.2

أوجِد مشتقة الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد مشتقة $\ln (x) \ln (\ln (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\ln (x))]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \ln (\ln (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 3.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 3.2.3.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 3.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 3.2.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

اجمع $\frac{1}{\ln (x)}$ و $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x)}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 3.2.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x)}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 3.2.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y'}{y} = 1 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 3.2.4.3

اضرب $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ في $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 3.2.5

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x} + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 3.2.6

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x} + \ln (\ln (x)) \frac{1}{x}$

خطوة 3.2.7

اجمع $\ln (\ln (x))$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x} + \frac{\ln (\ln (x))}{x}$

خطوة 4

اعزِل $y'$ وعوّض بالدالة الأصلية عن $y$ في الطرف الأيمن.

$y' = (\frac{1}{x} + \frac{\ln (\ln (x))}{x}) {(\ln (x))}^{\ln (x)}$

خطوة 5

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y' = \frac{1}{x} {\ln (x)}^{\ln (x)} + \frac{\ln (\ln (x))}{x} {\ln (x)}^{\ln (x)}$

خطوة 5.2

اجمع $\frac{1}{x}$ و ${\ln (x)}^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{{\ln (x)}^{\ln (x)}}{x} + \frac{\ln (\ln (x))}{x} {\ln (x)}^{\ln (x)}$

خطوة 5.3

اجمع $\frac{\ln (\ln (x))}{x}$ و ${\ln (x)}^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{{\ln (x)}^{\ln (x)}}{x} + \frac{\ln (\ln (x)) {\ln (x)}^{\ln (x)}}{x}$

خطوة 5.4

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{{\ln (x)}^{\ln (x)}}{x} + \frac{\ln (\ln (x)) {\ln (x)}^{\ln (x)}}{x}$ .

$y' = \frac{{\ln (x)}^{\ln (x)}}{x} + \frac{{\ln (x)}^{\ln (x)} \ln (\ln (x))}{x}$