حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \ln (e^{- x} + x e^{- x})$

خطوة 1

افترض أن $y = f (x)$ ، خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (\ln (e^{- x} + x e^{- x}))$

خطوة 2

أوجِد مشتقة العبارة باستخدام قاعدة السلسلة، مع الأخذ في الاعتبار أن $y$ هو دالة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة الطرف الأيسر $\ln (y)$ باستخدام قاعدة السلسلة.

$\frac{y'}{y} = \ln (\ln (e^{- x} + x e^{- x}))$

خطوة 2.2

أوجِد مشتقة الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد مشتقة $\ln (\ln (e^{- x} + x e^{- x}))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (\ln (e^{- x} + x e^{- x}))]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \ln (e^{- x} + x e^{- x})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\ln (e^{- x} + x e^{- x})$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (e^{- x} + x e^{- x})]$

خطوة 2.2.2.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (e^{- x} + x e^{- x})]$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\ln (e^{- x} + x e^{- x})$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{- x} + x e^{- x})} \frac{d}{d x} [\ln (e^{- x} + x e^{- x})]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = e^{- x} + x e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $e^{- x} + x e^{- x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{- x} + x e^{- x})} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}])$

خطوة 2.2.3.2

مشتق $\ln (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{- x} + x e^{- x})} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}])$

خطوة 2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $e^{- x} + x e^{- x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{- x} + x e^{- x})} (\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}])$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الجمع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

اضرب $\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}}$ في $\frac{1}{\ln (e^{- x} + x e^{- x})}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}]$

خطوة 2.2.4.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{- x} + x e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

خطوة 2.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $- x$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

خطوة 2.2.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ هو $a^{u_{3}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

خطوة 2.2.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $- x$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

خطوة 2.2.6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

خطوة 2.2.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

خطوة 2.2.6.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

خطوة 2.2.6.3.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

خطوة 2.2.6.3.3

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

خطوة 2.2.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{- x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{4}$ لتصبح $- x$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (\frac{d}{d u_{4}} [e^{u_{4}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.8.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{4}} [a^{u_{4}}]$ هو $a^{u_{4}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (e^{u_{4}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.8.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{4}$ بـ $- x$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.9

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.9.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.9.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.9.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.9.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.9.3.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.9.3.3

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.9.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1)$

خطوة 2.2.9.5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.9.5.1

اضرب $e^{- x}$ في $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (- e^{- x}) + e^{- x})$

خطوة 2.2.9.5.2

أضف $- e^{- x}$ و $e^{- x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (x (- e^{- x}) + 0)$

خطوة 2.2.9.5.3

أضف $x (- e^{- x})$ و $0$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (x (- e^{- x}))$

خطوة 2.2.9.5.4

اجمع $x$ و $\frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x})$

خطوة 2.2.9.5.5

اجمع $\frac{x}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$ و $e^{- x}$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{x e^{- x}}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$

خطوة 2.2.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.10.1

أخرِج العامل $e^{- x}$ من $e^{- x} + x e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.10.1.1

اضرب في $1$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{x e^{- x}}{(e^{- x} \cdot 1 + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$

خطوة 2.2.10.1.2

أخرِج العامل $e^{- x}$ من $x e^{- x}$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{x e^{- x}}{(e^{- x} \cdot 1 + e^{- x} x) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$

خطوة 2.2.10.1.3

أخرِج العامل $e^{- x}$ من $e^{- x} \cdot 1 + e^{- x} x$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{x e^{- x}}{e^{- x} (1 + x) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$

خطوة 2.2.10.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.10.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y'}{y} = - \frac{x e^{- x}}{e^{- x} (1 + x) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$

خطوة 2.2.10.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y'}{y} = - \frac{x}{(1 + x) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$

خطوة 2.2.10.3

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{x}{(1 + x) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{x}{\ln (e^{- x} + x e^{- x}) (1 + x)}$

خطوة 3

اعزِل $y'$ وعوّض بالدالة الأصلية عن $y$ في الطرف الأيمن.

$y' = - \frac{x}{\ln (e^{- x} + x e^{- x}) (1 + x)} \ln (e^{- x} + x e^{- x})$

خطوة 4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (e^{- x} + x e^{- x})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{x}{\ln (e^{- x} + x e^{- x}) (1 + x)}$ إلى بسط الكسر.

$y' = \frac{- x}{\ln (e^{- x} + x e^{- x}) (1 + x)} \ln (e^{- x} + x e^{- x})$

خطوة 4.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{- x}{\ln (e^{- x} + x e^{- x}) (1 + x)} \ln (e^{- x} + x e^{- x})$

خطوة 4.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- x}{1 + x}$

خطوة 4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{x}{1 + x}$