حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 36}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $x = 6 \tan (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = 6 \sec^{2} (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $6 \sec^{2} (t)$ موجبة.

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{{(6 \tan (t))}^{2} + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{{(6 \tan (t))}^{2} + 36}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $6 \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{6^{2} \tan^{2} (t) + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.1.2

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{36 \tan^{2} (t) + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل $36$ من $36 \tan^{2} (t) + 36$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أخرِج العامل $36$ من $36 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{36 (\tan^{2} (t)) + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.2.2

أخرِج العامل $36$ من $36$ .

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{36 (\tan^{2} (t)) + 36 (1)}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.2.3

أخرِج العامل $36$ من $36 (\tan^{2} (t)) + 36 (1)$ .

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{36 (\tan^{2} (t) + 1)}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.3

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{36 \sec^{2} (t)}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.4

أعِد كتابة $36 \sec^{2} (t)$ بالصيغة ${(6 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{{(6 \sec (t))}^{2}}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \frac{1}{6 \tan (t) (6 \sec (t))} (6 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اضرب $6$ في $6$ .

$\int \frac{1}{36 \tan (t) \sec (t)} (6 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.2.2

اجمع $6$ و $\frac{1}{36 \tan (t) \sec (t)}$ .

$\int \frac{6}{36 \tan (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

خطوة 2.2.3

اجمع $\frac{6}{36 \tan (t) \sec (t)}$ و $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{6 \sec^{2} (t)}{36 \tan (t) \sec (t)} d t$

خطوة 2.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $36$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

أخرِج العامل $6$ من $6 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{6 (\sec^{2} (t))}{36 \tan (t) \sec (t)} d t$

خطوة 2.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.1

أخرِج العامل $6$ من $36 \tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{6 (\sec^{2} (t))}{6 (6 \tan (t) \sec (t))} d t$

خطوة 2.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{6 \sec^{2} (t)}{6 (6 \tan (t) \sec (t))} d t$

خطوة 2.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{\sec^{2} (t)}{6 \tan (t) \sec (t)} d t$

خطوة 2.2.5

احذِف العامل المشترك لـ $\sec^{2} (t)$ و $\sec (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

أخرِج العامل $\sec (t)$ من $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{6 \tan (t) \sec (t)} d t$

خطوة 2.2.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.2.1

أخرِج العامل $\sec (t)$ من $6 \tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) (6 \tan (t))} d t$

خطوة 2.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) (6 \tan (t))} d t$

خطوة 2.2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{\sec (t)}{6 \tan (t)} d t$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{6}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{6} \int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} d t$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $\tan (t)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{1}{6} \int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

خطوة 4.2

أعِد كتابة $\sec (t)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{1}{6} \int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

خطوة 4.3

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

خطوة 4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

خطوة 4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sin (t)} d t$

خطوة 4.5

حوّل من $\frac{1}{\sin (t)}$ إلى $\csc (t)$ .

$\frac{1}{6} \int \csc (t) d t$

خطوة 5

تكامل $\csc (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\frac{1}{6} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

خطوة 6

بسّط.

$\frac{1}{6} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arctan (\frac{x}{6})$ .

$\frac{1}{6} \ln (| \csc (\arctan (\frac{x}{6})) - \cot (\arctan (\frac{x}{6})) |) + C$

خطوة 8

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{6} \ln (| \csc (\arctan (\frac{1}{6} x)) - \cot (\arctan (\frac{1}{6} x)) |) + C$