حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{5}^{\infty} \frac{1}{{(x - 4)}^{\frac{3}{2}}} d x$

خطوة 1

اكتب التكامل في صورة نهاية عند اقتراب $t$ من $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{5}^{t} \frac{1}{{(x - 4)}^{\frac{3}{2}}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = x - 4$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = x - 4$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 2.1.4

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x - 4$ .

$u_{lower} = 5 - 4$

خطوة 2.3

اطرح $4$ من $5$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x - 4$ .

$u_{upper} = t - 4$

خطوة 2.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = t - 4$

خطوة 2.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 4} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

خطوة 3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل $u^{\frac{3}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 4} {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 3.2

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 4} u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 3.2.2

اضرب $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اجمع $\frac{3}{2}$ و $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 4} u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

خطوة 3.2.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 4} u^{\frac{- 3}{2}} d u$

خطوة 3.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 4} u^{- \frac{3}{2}} d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} - 2 u^{- \frac{1}{2}}]_{1}^{t - 4}$

خطوة 5

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ في $t - 4$ وفي $1$ .

$lim_{t \to \infty} (- 2 {(t - 4)}^{- \frac{1}{2}}) + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$lim_{t \to \infty} - 2 {(t - 4)}^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot 1$

خطوة 5.2.2

اضرب $2$ في $1$ .

$lim_{t \to \infty} - 2 {(t - 4)}^{- \frac{1}{2}} + 2$

خطوة 6

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $\infty$ .

$- lim_{t \to \infty} 2 {(t - 4)}^{- \frac{1}{2}} + lim_{t \to \infty} 2$

خطوة 6.1.2

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$- 2 lim_{t \to \infty} {(t - 4)}^{- \frac{1}{2}} + lim_{t \to \infty} 2$

خطوة 6.1.3

بسّط المتغير المستقل للنهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{{(t - 4)}^{\frac{1}{2}}} + lim_{t \to \infty} 2$

خطوة 6.1.3.2

أعِد كتابة ${(t - 4)}^{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\sqrt{t - 4}$ .

$- 2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{\sqrt{t - 4}} + lim_{t \to \infty} 2$

خطوة 6.2

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{\sqrt{t - 4}}$ يقترب من $0$ .

$- 2 \cdot 0 + lim_{t \to \infty} 2$

خطوة 6.3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

احسِب قيمة حد $2$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $\infty$ .

$- 2 \cdot 0 + 2$

خطوة 6.3.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

اضرب $- 2$ في $0$ .

$0 + 2$

خطوة 6.3.2.2

أضف $0$ و $2$ .

$2$