حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\infty} x e^{- 2 x} d x$

خطوة 1

اكتب التكامل في صورة نهاية عند اقتراب $t$ من $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- 2 x} d x$

خطوة 2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{- 2 x}$ .

$lim_{t \to \infty} x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x})]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $e^{- 2 x}$ و $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} x (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

خطوة 3.2

اجمع $x$ و $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

خطوة 4

بما أن $- \frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- \frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{t} e^{- 2 x} d x)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{t} e^{- 2 x} d x)$

خطوة 5.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} \int_{0}^{t} e^{- 2 x} d x$

خطوة 6

لنفترض أن $u = - 2 x$ . إذن $d u = - 2 d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u = - 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 6.1.2

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

خطوة 6.1.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2$

خطوة 6.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = - 2 x$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

خطوة 6.3

اضرب $- 2$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 6.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = - 2 x$ .

$u_{upper} = - 2 t$

خطوة 6.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2 t$

خطوة 6.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

خطوة 7.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} - \frac{e^{u}}{2} d u$

خطوة 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 2 t} \frac{e^{u}}{2} d u)$

خطوة 9

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} d u))$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} d u$

خطوة 10.2

اضرب $2$ في $2$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \frac{1}{4} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} d u$

خطوة 11

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{- 2 t}$

خطوة 12

اجمع $e^{u}]_{0}^{- 2 t}$ و $\frac{1}{4}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2 t}}{4}$

خطوة 13

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

احسِب قيمة $- \frac{x e^{- 2 x}}{2}$ في $t$ وفي $0$ .

$lim_{t \to \infty} (- \frac{t e^{- 2 t}}{2}) + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2 t}}{4}$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $e^{u}$ في $- 2 t$ وفي $0$ .

$lim_{t \to \infty} (- \frac{t e^{- 2 t}}{2}) + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

خطوة 13.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1

اضرب $- 2$ في $0$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{0 e^{0}}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

خطوة 13.3.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{0 \cdot 1}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

خطوة 13.3.3

اضرب $0$ في $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{0}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

خطوة 13.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.4.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{2 (0)}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

خطوة 13.3.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

خطوة 13.3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

خطوة 13.3.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{0}{1} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

خطوة 13.3.4.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + 0 - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

خطوة 13.3.5

أضف $- \frac{t e^{- 2 t}}{2}$ و $0$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

خطوة 13.3.6

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \frac{e^{- 2 t} - 1 \cdot 1}{4}$

خطوة 13.3.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{4}$

خطوة 13.3.8

لكتابة $- \frac{t e^{- 2 t}}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{4}$

خطوة 13.3.9

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $4$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.9.1

اضرب $\frac{t e^{- 2 t}}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{4}$

خطوة 13.3.9.2

اضرب $2$ في $2$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t} \cdot 2}{4} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{4}$

خطوة 13.3.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{t \to \infty} \frac{- t e^{- 2 t} \cdot 2 - (e^{- 2 t} - 1)}{4}$

خطوة 13.3.11

اضرب $2$ في $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2 t e^{- 2 t} - (e^{- 2 t} - 1)}{4}$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 t e^{- 2 t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (2 t e^{- 2 t}) - (e^{- 2 t} - 1)}{4}$

خطوة 14.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 t e^{- 2 t}) - (e^{- 2 t} - 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1)}{4}$

خطوة 14.3

أعِد كتابة $- (2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1)$ بالصيغة $- 1 (2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1)}{4}$

خطوة 14.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{t \to \infty} - \frac{2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1}{4}$

خطوة 15

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1}{4}$

خطوة 15.2

انقُل الحد $\frac{1}{4}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$- \frac{1}{4} lim_{t \to \infty} 2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1$

خطوة 15.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $\infty$ .

$- \frac{1}{4} (lim_{t \to \infty} 2 t e^{- 2 t} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 15.4

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} t e^{- 2 t} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 15.5

أعِد كتابة $t e^{- 2 t}$ بالصيغة $\frac{t}{e^{2 t}}$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 15.6

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.6.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.6.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$- \frac{1}{4} (2 \frac{lim_{t \to \infty} t}{lim_{t \to \infty} e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 15.6.1.2

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$- \frac{1}{4} (2 \frac{\infty}{lim_{t \to \infty} e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 15.6.1.3

بما أن الأُس $2 t$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{2 t}$ تقترب من $\infty$ .

$- \frac{1}{4} (2 \frac{\infty}{\infty} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 15.6.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$- \frac{1}{4} (2 \frac{\infty}{\infty} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 15.6.2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{2 t}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{2 t}]}$

خطوة 15.6.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.6.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{2 t}]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 15.6.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d t} [e^{2 t}]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 15.6.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = e^{t}$ و $g (t) = 2 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.6.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 t$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [2 t]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 15.6.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d t} [2 t]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 15.6.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 t$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 15.6.3.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t} \cdot 2 \frac{d}{d t} [t]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 15.6.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t} \cdot 2 \cdot 1} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 15.6.3.6

اضرب $2$ في $1$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t} \cdot 2} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 15.6.3.7

انقُل $2$ إلى يسار $e^{2 t}$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 15.7

انقُل الحد $\frac{1}{2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$- \frac{1}{4} (2 (\frac{1}{2}) lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 15.8

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{e^{2 t}}$ يقترب من $0$ .

$- \frac{1}{4} (2 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 15.9

اضرب $\frac{1}{2}$ في $0$ .

$- \frac{1}{4} (2 \cdot 0 + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 15.10

بما أن الأُس $- 2 t$ يقترب من $- \infty$ ، إذن الكمية $e^{- 2 t}$ تقترب من $0$ .

$- \frac{1}{4} (2 \cdot 0 + 0 - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 15.11

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.11.1

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $\infty$ .

$- \frac{1}{4} (2 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 15.11.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.11.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.11.2.1.1

اضرب $2$ في $0$ .

$- \frac{1}{4} (0 + 0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 15.11.2.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{1}{4} (0 + 0 - 1)$

خطوة 15.11.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$- \frac{1}{4} (0 - 1)$

خطوة 15.11.2.3

اطرح $1$ من $0$ .

$- \frac{1}{4} \cdot - 1$

خطوة 15.11.2.4

اضرب $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.11.2.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4})$

خطوة 15.11.2.4.2

اضرب $\frac{1}{4}$ في $1$ .

$\frac{1}{4}$

خطوة 16

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{4}$

الصيغة العشرية:

$0.25$