حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 3}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 3}$ و $g (x) = 3 + x^{2} \cot (x^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $3 + x^{2} \cot (x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 3}] \frac{d}{d x} [3 + x^{2} \cot (x^{2})]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = - 3$ .

$- 3 {u_{1}}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 + x^{2} \cot (x^{2})]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 + x^{2} \cot (x^{2})$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 + x^{2} \cot (x^{2})]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 + x^{2} \cot (x^{2})$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{2} \cot (x^{2})]$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{2} \cot (x^{2})])$

خطوة 2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2} \cot (x^{2})])$

خطوة 2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x^{2} \cot (x^{2})]$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{2} \cot (x^{2})]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \cot (x^{2})$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{2} \frac{d}{d x} [\cot (x^{2})] + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cot (x)$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x^{2}$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4.2

مشتق $\cot (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{2} (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{2}$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{2} (- \csc^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{2} (- \csc^{2} (x^{2}) (2 x)) + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 5.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{2} (- 2 \csc^{2} (x^{2}) x) + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 6

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

انقُل $x$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x \cdot x^{2} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 6.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{1} x^{2} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 6.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{1 + 2} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 6.3

أضف $1$ و $2$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{3} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{3} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) (2 x))$

خطوة 8

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{{(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{4}} (x^{3} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) (2 x))$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{{(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{4}}$ .

$\frac{- 3}{{(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{4}} (x^{3} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) (2 x))$

خطوة 9.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3}{{(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{4}} (x^{3} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) (2 x))$

خطوة 9.2

أعِد ترتيب عوامل $- \frac{3}{{(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{4}} (x^{3} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) (2 x))$ .

$- (x^{3} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) (2 x)) \frac{3}{{(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{4}}$