حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} + x + 1}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2} - x + 1$ و $g (x) = x^{2} + x + 1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1] - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 2.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 2.6

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1 + 0) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 2.7

أضف $2 x - 1$ و $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 2.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1) - (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1) - (x^{2} - x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 2.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1) - (x^{2} - x + 1) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 2.11

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1) - (x^{2} - x + 1) (2 x + 1 + 0)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 2.12

أضف $2 x + 1$ و $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1) - (x^{2} - x + 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x - 1) + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

وسّع $(x^{2} + x + 1) (2 x - 1)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 1 + x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.2.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 1 + x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.3

انقُل $- 1$ إلى يسار $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 1 \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.4

أعِد كتابة $- 1 x^{2}$ بالصيغة $- x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 2 x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.6

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.6.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 2 (x \cdot x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.6.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.7

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} - 1 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.8

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} - x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.9

اضرب $2 x$ في $1$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} - x + 2 x + 1 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.10

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} - x + 2 x - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.3

أضف $- x^{2}$ و $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} - x + 2 x - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.4

أضف $- x$ و $2 x$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 + (- x^{2} - - x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.5.1

اضرب $- - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.5.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 + (- x^{2} + 1 x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.5.1.2

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 + (- x^{2} + x - 1 \cdot 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.5.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 + (- x^{2} + x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.6

وسّع $(- x^{2} + x - 1) (2 x + 1)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.7.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 1 + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.7.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.7.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.7.2.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.7.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.7.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 1 + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.7.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 1 + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.7.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 1 + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.7.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} - x^{2} + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.7.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.7.6

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.7.6.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} - x^{2} + 2 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.7.6.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.7.7

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} + x - 1 (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.7.8

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} + x - 2 x - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.7.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} + x - 2 x - 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.8

أضف $- x^{2}$ و $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} + x^{2} + x - 2 x - 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.9

اطرح $2 x$ من $x$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} + x^{2} - x - 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x^{3} + x^{2} + x - 1 - 2 x^{3} + x^{2} - x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اطرح $2 x^{3}$ من $2 x^{3}$ .

$\frac{x^{2} + x - 1 + 0 + x^{2} - x - 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.2.2

أضف $x^{2} + x - 1$ و $0$ .

$\frac{x^{2} + x - 1 + x^{2} - x - 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.2.3

اطرح $x$ من $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 + x^{2} + 0 - 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.2.4

أضف $x^{2} - 1 + x^{2}$ و $0$ .

$\frac{x^{2} - 1 + x^{2} - 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.3

أضف $x^{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 1 - 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.4

اطرح $1$ من $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2} - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 2}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (x^{2}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1^{2})}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$