حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{2}{3} \sqrt{2 x^{2} + 6 x}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2 x^{2} + 6 x}$ في صورة ${(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{2}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2}{3} {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 2 x^{2} + 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x^{2} + 6 x$ .

$\frac{2}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x^{2} + 6 x$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

خطوة 7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 6 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

خطوة 8

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(2 x^{2} + 6 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{{(2 x^{2} + 6 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

خطوة 9

انقُل ${(2 x^{2} + 6 x)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

خطوة 10

اضرب $\frac{1}{2 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{2 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x]$

خطوة 11

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{2}{6 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x]$

خطوة 12

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (1)}{6 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x]$

خطوة 13

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أخرِج العامل $2$ من $6 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (1)}{2 (3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x]$

خطوة 13.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 1}{2 (3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x]$

خطوة 13.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x]$

خطوة 14

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{2} + 6 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x])$

خطوة 15

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x])$

خطوة 16

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x])$

خطوة 17

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} (4 x + \frac{d}{d x} [6 x])$

خطوة 18

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} (4 x + 6 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 19

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} (4 x + 6 \cdot 1)$

خطوة 20

اضرب $6$ في $1$ .

$\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} (4 x + 6)$

خطوة 21

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} (4 x + 6)$ .

$(4 x + 6) \frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 21.2

اضرب $4 x + 6$ في $\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 x + 6}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 21.3

أخرِج العامل $2$ من $4 x + 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x$ .

$\frac{2 (2 x) + 6}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 21.3.2

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 (2 x) + 2 (3)}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 21.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (2 x) + 2 (3)$ .

$\frac{2 (2 x + 3)}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}}$