حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int (\frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}) d x$

خطوة 1

احذِف الأقواس.

$\int \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2}{x^{2}} d x + \int \frac{3}{x^{3}} d x$

خطوة 3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{2}{x^{2}} d x + \int \frac{3}{x^{3}} d x$

خطوة 4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\ln (| x |) + C + 2 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{3}{x^{3}} d x$

خطوة 5

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\ln (| x |) + C + 2 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \frac{3}{x^{3}} d x$

خطوة 5.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| x |) + C + 2 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \frac{3}{x^{3}} d x$

خطوة 5.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\ln (| x |) + C + 2 \int x^{- 2} d x + \int \frac{3}{x^{3}} d x$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |) + C + 2 (- x^{- 1} + C) + \int \frac{3}{x^{3}} d x$

خطوة 7

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$\ln (| x |) + C + 2 (- x^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

خطوة 8

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل $x^{3}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\ln (| x |) + C + 2 (- x^{- 1} + C) + 3 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

خطوة 8.2

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| x |) + C + 2 (- x^{- 1} + C) + 3 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

خطوة 8.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\ln (| x |) + C + 2 (- x^{- 1} + C) + 3 \int x^{- 3} d x$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\ln (| x |) + C + 2 (- x^{- 1} + C) + 3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

اجمع $x^{- 2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C + 2 (- x^{- 1} + C) + 3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

خطوة 10.1.2

انقُل $x^{- 2}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| x |) + C + 2 (- x^{- 1} + C) + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

خطوة 10.2

بسّط.

$\ln (| x |) - \frac{2}{x} + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

خطوة 10.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\ln (| x |) - \frac{2}{x} - 3 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

خطوة 10.3.2

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\ln (| x |) - \frac{2}{x} + \frac{- 3}{2 x^{2}} + C$

خطوة 10.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (| x |) - \frac{2}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + C$