حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y^{3} = \frac{x - y}{x + y}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y^{3}) = \frac{d}{d x} (\frac{x - y}{x + y})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 y^{2} y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x - y$ و $g (x) = x + y$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d x} [x - y] - (x - y) \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{(x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) - (x - y) \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y]) - (x - y) \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x + y) (1 - \frac{d}{d x} [y]) - (x - y) \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{(x + y) (1 - y') - (x - y) \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x + y) (1 - y') - (x - y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x + y) (1 - y') - (x - y) (1 + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.6

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{(x + y) (1 - y') - (x - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(x + y) (1 - y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.7.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1.1

وسّع $(x + y) (1 - y')$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (1 - y') + y (1 - y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.7.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cdot 1 + x (- y') + y (1 - y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.7.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cdot 1 + x (- y') + y \cdot 1 + y (- y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.7.2.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1.2.1

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{x + x (- y') + y \cdot 1 + y (- y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.7.2.1.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{x - x y' + y \cdot 1 + y (- y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.7.2.1.2.3

اضرب $y$ في $1$ .

$\frac{x - x y' + y + y (- y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.7.2.1.2.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{x - x y' + y - y y' + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.7.2.1.3

اضرب $- - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{x - x y' + y - y y' + (- x + 1 y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.7.2.1.3.2

اضرب $y$ في $1$ .

$\frac{x - x y' + y - y y' + (- x + y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.7.2.1.4

وسّع $(- x + y) (1 + y')$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x - x y' + y - y y' - x (1 + y') + y (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.7.2.1.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x - x y' + y - y y' - x \cdot 1 - x y' + y (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.7.2.1.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x - x y' + y - y y' - x \cdot 1 - x y' + y \cdot 1 + y y'}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.7.2.1.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1.5.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{x - x y' + y - y y' - x - x y' + y \cdot 1 + y y'}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.7.2.1.5.2

اضرب $y$ في $1$ .

$\frac{x - x y' + y - y y' - x - x y' + y + y y'}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.7.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - x y' + y - y y' - x - x y' + y + y y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.2.1

اطرح $x$ من $x$ .

$\frac{- x y' + y - y y' + 0 - x y' + y + y y'}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.7.2.2.2

أضف $- x y' + y - y y'$ و $0$ .

$\frac{- x y' + y - y y' - x y' + y + y y'}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.7.2.2.3

أضف $- y y'$ و $y y'$ .

$\frac{- x y' + y - x y' + y + 0}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.7.2.2.4

أضف $- x y' + y - x y' + y$ و $0$ .

$\frac{- x y' + y - x y' + y}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.7.2.3

اطرح $x y'$ من $- x y'$ .

$\frac{- 2 x y' + y + y}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.7.2.4

أضف $y$ و $y$ .

$\frac{- 2 x y' + 2 y}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.7.3

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x y' + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x y'$ .

$\frac{2 (- x y') + 2 y}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.7.3.2

أخرِج العامل $2$ من $2 y$ .

$\frac{2 (- x y') + 2 (y)}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.7.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (- x y') + 2 (y)$ .

$\frac{2 (- x y' + y)}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.7.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- x y'$ .

$\frac{2 (- (x y') + y)}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.7.5

أخرِج العامل $- 1$ من $y$ .

$\frac{2 (- (x y') - 1 (- y))}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.7.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x y') - 1 (- y)$ .

$\frac{2 (- (x y' - y))}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.7.7

أعِد كتابة $- (x y' - y)$ بالصيغة $- 1 (x y' - y)$ .

$\frac{2 (- 1 (x y' - y))}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.7.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$3 y^{2} y' = - \frac{2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب كلا الطرفين في ${(x + y)}^{2}$ .

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = - \frac{2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط $- \frac{2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x + y)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$ إلى بسط الكسر.

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = \frac{- 2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

خطوة 5.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = \frac{- 2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

خطوة 5.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = - 2 (x y' - y)$

خطوة 5.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = - 2 (x y') - 2 (- y)$

خطوة 5.2.1.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = - 2 x y' + 2 y$

خطوة 5.2.1.3.2

انقُل $x$ .

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = - 2 y' x + 2 y$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

أضف $2 y' x$ إلى كلا المتعادلين.

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} + 2 y' x = 2 y$

خطوة 5.3.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.1

أعِد كتابة ${(x + y)}^{2}$ بالصيغة $(x + y) (x + y)$ .

$3 y^{2} y' ((x + y) (x + y)) + 2 y' x = 2 y$

خطوة 5.3.1.2.2

وسّع $(x + y) (x + y)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 y^{2} y' (x (x + y) + y (x + y)) + 2 y' x = 2 y$

خطوة 5.3.1.2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$3 y^{2} y' (x \cdot x + x y + y (x + y)) + 2 y' x = 2 y$

خطوة 5.3.1.2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$3 y^{2} y' (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) + 2 y' x = 2 y$

خطوة 5.3.1.2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$3 y^{2} y' (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) + 2 y' x = 2 y$

خطوة 5.3.1.2.3.1.2

اضرب $y$ في $y$ .

$3 y^{2} y' (x^{2} + x y + y x + y^{2}) + 2 y' x = 2 y$

خطوة 5.3.1.2.3.2

أضف $x y$ و $y x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.3.2.1

أعِد ترتيب $y$ و $x$ .

$3 y^{2} y' (x^{2} + x y + x y + y^{2}) + 2 y' x = 2 y$

خطوة 5.3.1.2.3.2.2

أضف $x y$ و $x y$ .

$3 y^{2} y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + 2 y' x = 2 y$

خطوة 5.3.1.2.4

طبّق خاصية التوزيع.

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{2} y' (2 x y) + 3 y^{2} y' y^{2} + 2 y' x = 2 y$

خطوة 5.3.1.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.5.1

اضرب $y^{2}$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.5.1.1

انقُل $y$ .

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 (y \cdot y^{2}) y' (2 x) + 3 y^{2} y' y^{2} + 2 y' x = 2 y$

خطوة 5.3.1.2.5.1.2

اضرب $y$ في $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.5.1.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 (y^{1} y^{2}) y' (2 x) + 3 y^{2} y' y^{2} + 2 y' x = 2 y$

خطوة 5.3.1.2.5.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{1 + 2} y' (2 x) + 3 y^{2} y' y^{2} + 2 y' x = 2 y$

خطوة 5.3.1.2.5.1.3

أضف $1$ و $2$ .

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{3} y' (2 x) + 3 y^{2} y' y^{2} + 2 y' x = 2 y$

خطوة 5.3.1.2.5.2

اضرب $y^{2}$ في $y^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.5.2.1

انقُل $y^{2}$ .

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{3} y' (2 x) + 3 (y^{2} y^{2}) y' + 2 y' x = 2 y$

خطوة 5.3.1.2.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{3} y' (2 x) + 3 y^{2 + 2} y' + 2 y' x = 2 y$

خطوة 5.3.1.2.5.2.3

أضف $2$ و $2$ .

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{3} y' (2 x) + 3 y^{4} y' + 2 y' x = 2 y$

خطوة 5.3.1.2.6

اضرب $2$ في $3$ .

$3 y^{2} y' x^{2} + 6 y^{3} y' x + 3 y^{4} y' + 2 y' x = 2 y$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $3 y^{2} y' x^{2} + 6 y^{3} y' x + 3 y^{4} y' + 2 y' x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

أخرِج العامل $y'$ من $3 y^{2} y' x^{2}$ .

$y' (3 y^{2} x^{2}) + 6 y^{3} y' x + 3 y^{4} y' + 2 y' x = 2 y$

خطوة 5.3.2.2

أخرِج العامل $y'$ من $6 y^{3} y' x$ .

$y' (3 y^{2} x^{2}) + y' (6 y^{3} x) + 3 y^{4} y' + 2 y' x = 2 y$

خطوة 5.3.2.3

أخرِج العامل $y'$ من $3 y^{4} y'$ .

$y' (3 y^{2} x^{2}) + y' (6 y^{3} x) + y' (3 y^{4}) + 2 y' x = 2 y$

خطوة 5.3.2.4

أخرِج العامل $y'$ من $2 y' x$ .

$y' (3 y^{2} x^{2}) + y' (6 y^{3} x) + y' (3 y^{4}) + y' (2 x) = 2 y$

خطوة 5.3.2.5

أخرِج العامل $y'$ من $y' (3 y^{2} x^{2}) + y' (6 y^{3} x)$ .

$y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x) + y' (3 y^{4}) + y' (2 x) = 2 y$

خطوة 5.3.2.6

أخرِج العامل $y'$ من $y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x) + y' (3 y^{4})$ .

$y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4}) + y' (2 x) = 2 y$

خطوة 5.3.2.7

أخرِج العامل $y'$ من $y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4}) + y' (2 x)$ .

$y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x) = 2 y$

خطوة 5.3.3

اقسِم كل حد في $y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x) = 2 y$ على $3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اقسِم كل حد في $y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x) = 2 y$ على $3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x$ .

$\frac{y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x)}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x} = \frac{2 y}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x}$

خطوة 5.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x)}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x} = \frac{2 y}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x}$

خطوة 5.3.3.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{2 y}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x}$