حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\cos (x y) = 1 + \sin (y)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d y} (\cos (x y)) = \frac{d}{d y} (1 + \sin (y))$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = \cos (y)$ و $g (y) = x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x y]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d y} [x y]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x y$ .

$- \sin (x y) \frac{d}{d y} [x y]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = x$ و $g (y) = y$ .

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \sin (x y) (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

خطوة 2.3.2

اضرب $x$ في $1$ .

$- \sin (x y) (x + y \frac{d}{d y} [x])$

خطوة 2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$- \sin (x y) (x + y x')$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \sin (x y) x - \sin (x y) (y x')$

خطوة 2.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$- x \sin (x y) - y \sin (x y) x'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \sin (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

خطوة 3.1.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

خطوة 3.2

مشتق $\sin (y)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\cos (y)$ .

$0 + \cos (y)$

خطوة 3.3

أضف $0$ و $\cos (y)$ .

$\cos (y)$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- x \sin (x y) - y \sin (x y) x' = \cos (y)$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $- x \sin (x y) - y \sin (x y) x'$ .

$- x \sin (x y) - y x' \sin (x y) = \cos (y)$

خطوة 5.2

أضف $x \sin (x y)$ إلى كلا المتعادلين.

$- y x' \sin (x y) = \cos (y) + x \sin (x y)$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $- y x' \sin (x y) = \cos (y) + x \sin (x y)$ على $- y \sin (x y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $- y x' \sin (x y) = \cos (y) + x \sin (x y)$ على $- y \sin (x y)$ .

$\frac{- y x' \sin (x y)}{- y \sin (x y)} = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{y x' \sin (x y)}{y \sin (x y)} = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y x' \sin (x y)}{y \sin (x y)} = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

خطوة 5.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x' \sin (x y)}{\sin (x y)} = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

خطوة 5.3.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (x y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x' \sin (x y)}{\sin (x y)} = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

خطوة 5.3.2.3.2

اقسِم $x'$ على $1$ .

$x' = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

افصِل الكسور.

$x' = \frac{1}{- y} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

خطوة 5.3.3.1.2

أعِد كتابة $\frac{\cos (y)}{\sin (x y)}$ في صورة حاصل ضرب.

$x' = \frac{1}{- y} (\cos (y) \frac{1}{\sin (x y)}) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

خطوة 5.3.3.1.3

اكتب $\cos (y)$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$x' = \frac{1}{- y} (\frac{\cos (y)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x y)}) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

خطوة 5.3.3.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.4.1

اقسِم $\cos (y)$ على $1$ .

$x' = \frac{1}{- y} (\cos (y) \frac{1}{\sin (x y)}) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

خطوة 5.3.3.1.4.2

حوّل من $\frac{1}{\sin (x y)}$ إلى $\csc (x y)$ .

$x' = \frac{1}{- y} (\cos (y) \csc (x y)) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

خطوة 5.3.3.1.5

احذِف العامل المشترك لـ $1$ و $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.5.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$x' = \frac{- 1 (- 1)}{- y} (\cos (y) \csc (x y)) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

خطوة 5.3.3.1.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$x' = - \frac{1}{y} (\cos (y) \csc (x y)) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

خطوة 5.3.3.1.6

اضرب $- \frac{1}{y} (\cos (y) \csc (x y))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.6.1

اجمع $\cos (y)$ و $\frac{1}{y}$ .

$x' = - \frac{\cos (y)}{y} \csc (x y) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

خطوة 5.3.3.1.6.2

اجمع $\csc (x y)$ و $\frac{\cos (y)}{y}$ .

$x' = - \frac{\csc (x y) \cos (y)}{y} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

خطوة 5.3.3.1.7

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (x y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$x' = - \frac{\csc (x y) \cos (y)}{y} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

خطوة 5.3.3.1.7.2

أعِد كتابة العبارة.

$x' = - \frac{\csc (x y) \cos (y)}{y} + \frac{x}{- y}$

خطوة 5.3.3.1.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$x' = - \frac{\csc (x y) \cos (y)}{y} - \frac{x}{y}$

خطوة 6

استبدِل $x'$ بـ $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{\csc (x y) \cos (y)}{y} - \frac{x}{y}$