حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 25}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $x = 5 \sec (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = 5 \sec (t) \tan (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $5 \sec (t) \tan (t)$ موجبة.

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $5 \sec (t)$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{5^{2} \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.1.1.2

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل $25$ من $25 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t)) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.1.3

أخرِج العامل $25$ من $- 25$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.1.4

أخرِج العامل $25$ من $25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t) - 1)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.1.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 \tan^{2} (t)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.1.6

أعِد كتابة $25 \tan^{2} (t)$ بالصيغة ${(5 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{{(5 \tan (t))}^{2}}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \frac{5 \sec (t)}{5 \tan (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $5 \tan (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $5 \tan (t)$ من $5 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) (\sec (t))) d t$

خطوة 2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{5 \sec (t)}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) \sec (t)) d t$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int 5 \sec (t) \sec (t) d t$

خطوة 3

ارفع $\sec (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int 5 (\sec^{1} (t) \sec (t)) d t$

خطوة 4

ارفع $\sec (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int 5 (\sec^{1} (t) \sec^{1} (t)) d t$

خطوة 5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 5 {\sec (t)}^{1 + 1} d t$

خطوة 6

أضف $1$ و $1$ .

$\int 5 \sec^{2} (t) d t$

خطوة 7

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$5 \int \sec^{2} (t) d t$

خطوة 8

بما أن مشتق $\tan (t)$ هو $\sec^{2} (t)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (t)$ هو $\tan (t)$ .

$5 (\tan (t) + C)$

خطوة 9

بسّط.

$5 \tan (t) + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $arcsec (\frac{x}{5})$ .

$5 \tan (arcsec (\frac{x}{5})) + C$

خطوة 11

أعِد ترتيب الحدود.

$5 \tan (arcsec (\frac{1}{5} x)) + C$