حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x}{e^{x}}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اضرب الأُسس في ${(e^{x})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

خطوة 1.2.1.2

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{e^{x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 1.2.3

اضرب $e^{x}$ في $1$ .

$\frac{e^{x} - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} - x e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- e^{x} x + e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 1.4.2

أخرِج العامل $e^{x}$ من $- e^{x} x + e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

أخرِج العامل $e^{x}$ من $- e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 1.4.2.2

اضرب في $1$ .

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1}{e^{2 x}}$

خطوة 1.4.2.3

أخرِج العامل $e^{x}$ من $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1$ .

$\frac{e^{x} (- x + 1)}{e^{2 x}}$

خطوة 1.4.3

احذِف العامل المشترك لـ $e^{x}$ و $e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

أخرِج العامل $e^{2 x}$ من $e^{x} (- x + 1)$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x}}$

خطوة 1.4.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.2.1

اضرب في $1$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

خطوة 1.4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

خطوة 1.4.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{e^{- x} (- x + 1)}{1}$

خطوة 1.4.3.2.4

اقسِم $e^{- x} (- x + 1)$ على $1$ .

$e^{- x} (- x + 1)$

خطوة 1.4.4

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$

خطوة 1.4.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- e^{- x} x + e^{- x} \cdot 1$

خطوة 1.4.6

اضرب $e^{- x}$ في $1$ .

$- e^{- x} x + e^{- x}$

خطوة 1.4.7

أعِد ترتيب العوامل في $- e^{- x} x + e^{- x}$ .

$f' (x) = - x e^{- x} + e^{- x}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x e^{- x} + e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{- x}$ .

$- (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $- x$ .

$- (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$- (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- x$ .

$- (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 2.2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 2.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 2.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 2.2.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 2.2.8

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$- (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 2.2.9

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 2.2.10

اضرب $e^{- x}$ في $1$ .

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $- x$ .

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- x$ .

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.3.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

خطوة 2.3.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \cdot - 1$

خطوة 2.3.5

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 1 \cdot e^{- x}$

خطوة 2.3.6

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - e^{- x}$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- (x (- e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

خطوة 2.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (x (e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

خطوة 2.4.2.2

اضرب $x$ في $1$ .

$x e^{- x} - e^{- x} - e^{- x}$

خطوة 2.4.2.3

اطرح $e^{- x}$ من $- e^{- x}$ .

$x e^{- x} - 2 e^{- x}$

خطوة 2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{- x} x - 2 e^{- x}$

خطوة 2.4.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- x} x - 2 e^{- x}$ .

$f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}$