حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {\cos (2 x)}^{x}$

خطوة 1

افترض أن $y = f (x)$ ، خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({\cos (2 x)}^{x})$

خطوة 2

وسّع $\ln ({\cos (2 x)}^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$\ln (y) = x \ln (\cos (2 x))$

خطوة 3

أوجِد مشتقة العبارة باستخدام قاعدة السلسلة، مع الأخذ في الاعتبار أن $y$ هو دالة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة الطرف الأيسر $\ln (y)$ باستخدام قاعدة السلسلة.

$\frac{y'}{y} = x \ln (\cos (2 x))$

خطوة 3.2

أوجِد مشتقة الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد مشتقة $x \ln (\cos (2 x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (2 x))]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \ln (\cos (2 x))$ .

$\frac{y'}{y} = x \frac{d}{d x} [\ln (\cos (2 x))] + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \cos (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\cos (2 x)$ .

$\frac{y'}{y} = x (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2.3.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{y'}{y} = x (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\cos (2 x)$ .

$\frac{y'}{y} = x (\frac{1}{\cos (2 x)} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2.4

حوّل من $\frac{1}{\cos (2 x)}$ إلى $\sec (2 x)$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2.5.2

مشتق $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2.6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2.6.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1)) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2.6.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x))) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2.6.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x))) + \ln (\cos (2 x)) \cdot 1$

خطوة 3.2.6.6

اضرب $\ln (\cos (2 x))$ في $1$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x))) + \ln (\cos (2 x))$

خطوة 3.2.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{y'}{y} = - 2 x \sec (2 x) \sin (2 x) + \ln (\cos (2 x))$

خطوة 3.2.7.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.2.1

أعِد كتابة $\sec (2 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{y'}{y} = - 2 x \frac{1}{\cos (2 x)} \sin (2 x) + \ln (\cos (2 x))$

خطوة 3.2.7.2.2

اضرب $- 2 x \frac{1}{\cos (2 x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.2.2.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{y'}{y} = x \frac{- 2}{\cos (2 x)} \sin (2 x) + \ln (\cos (2 x))$

خطوة 3.2.7.2.2.2

اجمع $x$ و $\frac{- 2}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot - 2}{\cos (2 x)} \sin (2 x) + \ln (\cos (2 x))$

خطوة 3.2.7.2.3

انقُل $- 2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{- 2 \cdot x}{\cos (2 x)} \sin (2 x) + \ln (\cos (2 x))$

خطوة 3.2.7.2.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{y'}{y} = - \frac{2 \cdot x}{\cos (2 x)} \sin (2 x) + \ln (\cos (2 x))$

خطوة 3.2.7.2.5

اجمع $\sin (2 x)$ و $\frac{2 x}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{\sin (2 x) (2 x)}{\cos (2 x)} + \ln (\cos (2 x))$

خطوة 3.2.7.2.6

انقُل $2$ إلى يسار $\sin (2 x)$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{2 \sin (2 x) x}{\cos (2 x)} + \ln (\cos (2 x))$

خطوة 3.2.7.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.3.1

افصِل الكسور.

$\frac{y'}{y} = - (\frac{2 x}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}) + \ln (\cos (2 x))$

خطوة 3.2.7.3.2

حوّل من $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ إلى $\tan (2 x)$ .

$\frac{y'}{y} = - (\frac{2 x}{1} \tan (2 x)) + \ln (\cos (2 x))$

خطوة 3.2.7.3.3

اقسِم $2 x$ على $1$ .

$\frac{y'}{y} = - (2 x \tan (2 x)) + \ln (\cos (2 x))$

خطوة 3.2.7.3.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{y'}{y} = - 2 x \tan (2 x) + \ln (\cos (2 x))$

خطوة 4

اعزِل $y'$ وعوّض بالدالة الأصلية عن $y$ في الطرف الأيمن.

$y' = (- 2 x \tan (2 x) + \ln (\cos (2 x))) {\cos (2 x)}^{x}$

خطوة 5

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد كتابة $\tan (2 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$y' = (- 2 x \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \ln (\cos (2 x))) {\cos (2 x)}^{x}$

خطوة 5.1.2

اضرب $- 2 x \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

اجمع $- 2$ و $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$y' = (x \frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \ln (\cos (2 x))) {\cos (2 x)}^{x}$

خطوة 5.1.2.2

اجمع $x$ و $\frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$y' = (\frac{x (- 2 \sin (2 x))}{\cos (2 x)} + \ln (\cos (2 x))) {\cos (2 x)}^{x}$

خطوة 5.1.3

انقُل $- 2$ إلى يسار $x$ .

$y' = (\frac{- 2 \cdot x \sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \ln (\cos (2 x))) {\cos (2 x)}^{x}$

خطوة 5.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = (- \frac{2 x \sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \ln (\cos (2 x))) {\cos (2 x)}^{x}$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y' = - \frac{2 x \sin (2 x)}{\cos (2 x)} {\cos (2 x)}^{x} + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$

خطوة 5.3

اجمع ${\cos (2 x)}^{x}$ و $\frac{2 x \sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$y' = - \frac{{\cos (2 x)}^{x} (2 x \sin (2 x))}{\cos (2 x)} + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$

خطوة 5.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

احذِف العامل المشترك لـ ${\cos (2 x)}^{x}$ و $\cos (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

أخرِج العامل $\cos (2 x)$ من ${\cos (2 x)}^{x} (2 x \sin (2 x))$ .

$y' = - \frac{\cos (2 x) ({\cos (2 x)}^{x - 1} (2 x \sin (2 x)))}{\cos (2 x)} + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$

خطوة 5.4.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.2.1

اضرب في $1$ .

$y' = - \frac{\cos (2 x) ({\cos (2 x)}^{x - 1} (2 x \sin (2 x)))}{\cos (2 x) \cdot 1} + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$

خطوة 5.4.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{\cos (2 x) ({\cos (2 x)}^{x - 1} (2 x \sin (2 x)))}{\cos (2 x) \cdot 1} + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$

خطوة 5.4.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{{\cos (2 x)}^{x - 1} (2 x \sin (2 x))}{1} + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$

خطوة 5.4.1.2.4

اقسِم ${\cos (2 x)}^{x - 1} (2 x \sin (2 x))$ على $1$ .

$y' = - ({\cos (2 x)}^{x - 1} (2 x \sin (2 x))) + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$

خطوة 5.4.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y' = - (2 {\cos (2 x)}^{x - 1} x \sin (2 x)) + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$

خطوة 5.4.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y' = - 2 {\cos (2 x)}^{x - 1} x \sin (2 x) + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$

خطوة 5.5

أعِد ترتيب العوامل في $- 2 {\cos (2 x)}^{x - 1} x \sin (2 x) + \ln (\cos (2 x)) {\cos (2 x)}^{x}$ .

$y' = - 2 x {\cos (2 x)}^{x - 1} \sin (2 x) + {\cos (2 x)}^{x} \ln (\cos (2 x))$