حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{t} x \sqrt{x - t} d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = \sqrt{x - t}$ .

$x (\frac{2}{3} {(x - t)}^{\frac{3}{2}})]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} \frac{2}{3} {(x - t)}^{\frac{3}{2}} d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و ${(x - t)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x \frac{2 {(x - t)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} \frac{2}{3} {(x - t)}^{\frac{3}{2}} d x$

خطوة 2.2

اجمع $x$ و $\frac{2 {(x - t)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x (2 {(x - t)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} \frac{2}{3} {(x - t)}^{\frac{3}{2}} d x$

خطوة 3

بما أن $\frac{2}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{2}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{x (2 {(x - t)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{t} - (\frac{2}{3} \int_{0}^{t} {(x - t)}^{\frac{3}{2}} d x)$

خطوة 4

لنفترض أن $u = x - t$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = x - t$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $x - t$ .

$\frac{d}{d x} [x - t]$

خطوة 4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - t$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- t]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- t]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- t]$

خطوة 4.1.4

بما أن $- t$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- t$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 4.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 4.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x - t$ .

$u_{lower} = 0 - t$

خطوة 4.3

اطرح $t$ من $0$ .

$u_{lower} = - t$

خطوة 4.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x - t$ .

$u_{upper} = t - t$

خطوة 4.5

اطرح $t$ من $t$ .

$u_{upper} = 0$

خطوة 4.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - t$

$u_{upper} = 0$

خطوة 4.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{x (2 {(x - t)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{t} - \frac{2}{3} \int_{- t}^{0} u^{\frac{3}{2}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(x - t)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{t} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{- t}^{0}$

خطوة 6

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $\frac{x (2 {(x - t)}^{\frac{3}{2}})}{3}$ في $t$ وفي $0$ .

$(\frac{t (2 {(t - t)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{- t}^{0}$

خطوة 6.2

احسِب قيمة $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ في $0$ وفي $- t$ .

$(\frac{t (2 {(t - t)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اطرح $t$ من $t$ .

$\frac{t (2 \cdot 0^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.2

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$\frac{t (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.3

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{t (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{t (2 \cdot 0^{3})}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.5

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{t (2 \cdot 0)}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.6

اضرب $2$ في $0$ .

$\frac{t \cdot 0}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.7

اضرب $t$ في $0$ .

$\frac{0}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.8

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.8.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$\frac{3 (0)}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.8.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{0}{1} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.8.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$0 - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.9

اطرح $t$ من $0$ .

$0 - \frac{0 (2 {(- t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.10

أخرِج العامل $- 1$ من $- t$ .

$0 - \frac{0 (2 {(- (t))}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.11

طبّق قاعدة الضرب على $- (t)$ .

$0 - \frac{0 (2 ({(- 1)}^{\frac{3}{2}} t^{\frac{3}{2}}))}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.12

اضرب $2$ في $0$ .

$0 - \frac{0 ({(- 1)}^{\frac{3}{2}} t^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.13

اضرب ${(- 1)}^{\frac{3}{2}}$ في $0$ .

$0 - \frac{0 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.14

اضرب $0$ في $t^{\frac{3}{2}}$ .

$0 - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.15

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.15.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$0 - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.15.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.15.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$0 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.15.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$0 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.15.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$0 - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.15.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$0 - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.16

اضرب $- 1$ في $0$ .

$0 + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.17

أضف $0$ و $0$ .

$0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.18

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$0 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.19

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.20

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.20.1

ألغِ العامل المشترك.

$0 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.20.2

أعِد كتابة العبارة.

$0 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 0^{5} - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.21

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 0 - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.22

اضرب $\frac{2}{5}$ في $0$ .

$0 - \frac{2}{3} (0 - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.23

أخرِج العامل $- 1$ من $- t$ .

$0 - \frac{2}{3} (0 - \frac{2}{5} {(- (t))}^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.24

طبّق قاعدة الضرب على $- (t)$ .

$0 - \frac{2}{3} (0 - \frac{2}{5} ({(- 1)}^{\frac{5}{2}} t^{\frac{5}{2}}))$

خطوة 6.3.25

اجمع ${(- 1)}^{\frac{5}{2}}$ و $\frac{2}{5}$ .

$0 - \frac{2}{3} (0 - \frac{{(- 1)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5} t^{\frac{5}{2}})$

خطوة 6.3.26

اجمع $t^{\frac{5}{2}}$ و $\frac{{(- 1)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}$ .

$0 - \frac{2}{3} (0 - \frac{t^{\frac{5}{2}} ({(- 1)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2)}{5})$

خطوة 6.3.27

انقُل $2$ إلى يسار ${(- 1)}^{\frac{5}{2}}$ .

$0 - \frac{2}{3} (0 - \frac{t^{\frac{5}{2}} (2 \cdot {(- 1)}^{\frac{5}{2}})}{5})$

خطوة 6.3.28

انقُل $2$ إلى يسار $t^{\frac{5}{2}}$ .

$0 - \frac{2}{3} (0 - \frac{2 \cdot t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{5})$

خطوة 6.3.29

اطرح $\frac{2 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ من $0$ .

$0 - \frac{2}{3} (- \frac{2 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{5})$

خطوة 6.3.30

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{2}{3}) \frac{2 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{5}$

خطوة 6.3.31

اضرب $\frac{2}{3}$ في $1$ .

$0 + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{5}$

خطوة 6.3.32

اضرب $\frac{2}{3}$ في $\frac{2 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$0 + \frac{2 (2 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}$

خطوة 6.3.33

اضرب $2$ في $2$ .

$0 + \frac{4 (t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}$

خطوة 6.3.34

اضرب $3$ في $5$ .

$0 + \frac{4 (t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}})}{15}$

خطوة 6.3.35

أضف $0$ و $\frac{4 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{15}$ .

$\frac{4 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{15}$

خطوة 7

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{4 {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{15} t^{\frac{5}{2}}$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أعِد كتابة ${(- 1)}^{\frac{5}{2}}$ بالصيغة $\sqrt{{(- 1)}^{5}}$ .

$\frac{4 \sqrt{{(- 1)}^{5}}}{15} t^{\frac{5}{2}}$

خطوة 8.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $5$ .

$\frac{4 \sqrt{- 1}}{15} t^{\frac{5}{2}}$

خطوة 8.1.3

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$\frac{4 i}{15} t^{\frac{5}{2}}$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{4 i}{15}$ و $t^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{4 i t^{\frac{5}{2}}}{15}$