حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{\frac{2}{x}}$

خطوة 1

افترض أن $y = f (x)$ ، خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{\frac{2}{x}})$

خطوة 2

وسّع الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وسّع $\ln (x^{\frac{2}{x}})$ بنقل $\frac{2}{x}$ خارج اللوغاريتم.

$\ln (y) = \frac{2}{x} \ln (x)$

خطوة 2.2

اجمع $\frac{2}{x}$ و $\ln (x)$ .

$\ln (y) = \frac{2 \ln (x)}{x}$

خطوة 3

أوجِد مشتقة العبارة باستخدام قاعدة السلسلة، مع الأخذ في الاعتبار أن $y$ هو دالة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة الطرف الأيسر $\ln (y)$ باستخدام قاعدة السلسلة.

$\frac{y'}{y} = \frac{2 \ln (x)}{x}$

خطوة 3.2

أوجِد مشتقة الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد مشتقة $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\frac{2 \ln (x)}{x}]$

خطوة 3.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2 \ln (x)}{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

خطوة 3.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.2.4

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.2.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.2.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.2.5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 3.2.5.4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

خطوة 3.2.5.4.2

اجمع $2$ و $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

خطوة 3.2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y'}{y} = \frac{2 \cdot 1 + 2 (- \ln (x))}{x^{2}}$

خطوة 3.2.6.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.2.1

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2 + 2 (- \ln (x))}{x^{2}}$

خطوة 3.2.6.2.2

اضرب $2 (- \ln (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.2.2.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2 - 2 \ln (x)}{x^{2}}$

خطوة 3.2.6.2.2.2

بسّط $- 2 \ln (x)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{y'}{y} = \frac{2 - \ln (x^{2})}{x^{2}}$

خطوة 4

اعزِل $y'$ وعوّض بالدالة الأصلية عن $y$ في الطرف الأيمن.

$y' = \frac{2 - \ln (x^{2})}{x^{2}} x^{\frac{2}{x}}$

خطوة 5

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{2 - \ln (x^{2})}{x^{2}}$ و $x^{\frac{2}{x}}$ .

$y' = \frac{(2 - \ln (x^{2})) x^{\frac{2}{x}}}{x^{2}}$

خطوة 5.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{\frac{2}{x}}$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $(2 - \ln (x^{2})) x^{\frac{2}{x}}$ .

$y' = \frac{x^{2} ((2 - \ln (x^{2})) x^{\frac{2}{x} - 2})}{x^{2}}$

خطوة 5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اضرب في $1$ .

$y' = \frac{x^{2} ((2 - \ln (x^{2})) x^{\frac{2}{x} - 2})}{x^{2} \cdot 1}$

خطوة 5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{x^{2} ((2 - \ln (x^{2})) x^{\frac{2}{x} - 2})}{x^{2} \cdot 1}$

خطوة 5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{(2 - \ln (x^{2})) x^{\frac{2}{x} - 2}}{1}$

خطوة 5.2.2.4

اقسِم $(2 - \ln (x^{2})) x^{\frac{2}{x} - 2}$ على $1$ .

$y' = (2 - \ln (x^{2})) x^{\frac{2}{x} - 2}$

خطوة 5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y' = 2 x^{\frac{2}{x} - 2} - \ln (x^{2}) x^{\frac{2}{x} - 2}$

خطوة 5.4

أعِد ترتيب العوامل في $2 x^{\frac{2}{x} - 2} - \ln (x^{2}) x^{\frac{2}{x} - 2}$ .

$y' = 2 x^{\frac{2}{x} - 2} - x^{\frac{2}{x} - 2} \ln (x^{2})$