حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt{1 + \sqrt{x}}$

خطوة 1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 1.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{1 + x^{\frac{1}{2}}}$ في صورة ${(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 7.3

انقُل ${(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 9

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 10

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 12

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 13

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 14

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 15

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

خطوة 15.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 16

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 17

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 18

اضرب $\frac{1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

خطوة 19

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{4 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 19.2

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 19.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{4 x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$