حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}$

خطوة 1

أعِد كتابة الطرف الأيمن بأُسس كسرية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \sqrt{x + \sqrt{x + x^{\frac{1}{2}}}}$

خطوة 1.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x + x^{\frac{1}{2}}}$ في صورة ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \sqrt{x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.3

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ في صورة ${(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 3

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.5.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.6.2.2

انقُل ${(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.6.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 4.6.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 4.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x + x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 4.7.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 4.7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 4.8

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 4.9

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 4.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 4.11

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.11.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 4.11.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 4.12

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 4.12.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 4.12.3

انقُل ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 4.13

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]))$

خطوة 4.14

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]))$

خطوة 4.15

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

خطوة 4.16

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

خطوة 4.17

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

خطوة 4.18

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

خطوة 4.19

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.19.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

خطوة 4.19.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

خطوة 4.20

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

خطوة 4.21

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}))$

خطوة 4.22

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.22.1

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))$

خطوة 4.22.2

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))$ .

$(1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})) \frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})) (\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})) (\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}})$