حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} (e^{x} - e^{- 2 x}) d x$

خطوة 1

احذِف الأقواس.

$\int_{0}^{1} e^{x} - e^{- 2 x} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{1} e^{x} d x + \int_{0}^{1} - e^{- 2 x} d x$

خطوة 3

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$e^{x}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - e^{- 2 x} d x$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{- 2 x} d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = - 2 x$ . إذن $d u = - 2 d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = - 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 5.1.2

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

خطوة 5.1.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2$

خطوة 5.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = - 2 x$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

خطوة 5.3

اضرب $- 2$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 5.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = - 2 x$ .

$u_{upper} = - 2 \cdot 1$

خطوة 5.5

اضرب $- 2$ في $1$ .

$u_{upper} = - 2$

خطوة 5.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

خطوة 5.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 2} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

خطوة 6.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 2} - \frac{e^{u}}{2} d u$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{x}]_{0}^{1} - - \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e^{x}]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$

خطوة 8.2

اضرب $\int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$ في $1$ .

$e^{x}]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$

خطوة 9

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$e^{x}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

خطوة 10

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{x}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{- 2}$

خطوة 11

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احسِب قيمة $e^{x}$ في $1$ وفي $0$ .

$(e^{1}) - e^{0} + \frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{- 2}$

خطوة 11.2

احسِب قيمة $e^{u}$ في $- 2$ وفي $0$ .

$(e^{1}) - e^{0} + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

خطوة 11.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بسّط.

$e - e^{0} + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

خطوة 11.3.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$e - 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

خطوة 11.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$e - 1 + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

خطوة 11.3.4

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$e - 1 + \frac{1}{2} (e^{- 2} - 1 \cdot 1)$

خطوة 11.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$e - 1 + \frac{1}{2} (e^{- 2} - 1)$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e - 1 + \frac{1}{2} e^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

خطوة 12.1.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{- 2}$ .

$e - 1 + \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

خطوة 12.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$e - 1 + \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 12.1.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.4.1

انقُل $e^{- 2}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e - 1 + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 12.1.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$e - 1 + \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{2}$

خطوة 12.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$e + \frac{1}{2 e^{2}} - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 12.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 12.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

خطوة 12.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 2 - 1}{2}$

خطوة 12.5.2

اطرح $1$ من $- 2$ .

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 3}{2}$

خطوة 12.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$e + \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{3}{2}$

خطوة 13

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$e + \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{3}{2}$

الصيغة العشرية:

$1.28594947 \dots$

خطوة 14