حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{- 1}^{0} \sqrt{x - 1} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x - 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x - 1$ .

$u_{lower} = - 1 - 1$

خطوة 1.3

اطرح $1$ من $- 1$ .

$u_{lower} = - 2$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x - 1$ .

$u_{upper} = 0 - 1$

خطوة 1.5

اطرح $1$ من $0$ .

$u_{upper} = - 1$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 1$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{- 2}^{- 1} \sqrt{u} d u$

خطوة 2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{- 2}^{- 1} u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{- 2}^{- 1}$

خطوة 4

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ في $- 1$ وفي $- 2$ .

$(\frac{2}{3} {(- 1)}^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} {(- 2)}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و ${(- 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} {(- 2)}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.2.2

اجمع ${(- 2)}^{\frac{3}{2}}$ و $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$

خطوة 4.2.3

انقُل $2$ إلى يسار ${(- 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(- 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد كتابة ${(- 1)}^{\frac{3}{2}}$ بالصيغة $\sqrt{{(- 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{{(- 1)}^{3}}}{3} - \frac{2 {(- 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

خطوة 5.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$\frac{2 \sqrt{- 1}}{3} - \frac{2 {(- 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

خطوة 5.1.3

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$\frac{2 i}{3} - \frac{2 {(- 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

خطوة 5.2

أعِد ترتيب $\frac{2 i}{3}$ و $- \frac{2 {(- 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$- \frac{2 {(- 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 i}{3}$

خطوة 6