حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{2}}{2 \sqrt{x} + 1}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = 2 x^{\frac{1}{2}} + 1$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2

انقُل $2$ إلى يسار $2 x^{\frac{1}{2}} + 1$ .

$\frac{2 \cdot (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{\frac{1}{2}} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 8

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 8.3

اجمع $2$ و $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 8.4

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 8.5

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 8.6

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 9

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0)}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 10

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أضف $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ و $0$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 10.2

اجمع $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ و $x^{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - \frac{x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 11

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - (x^{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 12

اضرب $x^{2}$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2 - \frac{1}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 12.2

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 12.3

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 12.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 12.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{\frac{4 - 1}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 12.5.2

اطرح $1$ من $4$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 (2 x^{\frac{1}{2}}) + 2 \cdot 1) x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 13.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}}) x + 2 \cdot 1 x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 13.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1.1

اضرب $x^{\frac{1}{2}}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 (2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}})) + 2 \cdot 1 x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 13.3.1.1.2

اضرب $x$ في $x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})) + 2 \cdot 1 x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 13.3.1.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 (2 x^{1 + \frac{1}{2}}) + 2 \cdot 1 x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 13.3.1.1.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{2 (2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}) + 2 \cdot 1 x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 13.3.1.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 (2 x^{\frac{2 + 1}{2}}) + 2 \cdot 1 x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 13.3.1.1.5

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{3}{2}}) + 2 \cdot 1 x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 13.3.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{4 x^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1 x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 13.3.1.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{4 x^{\frac{3}{2}} + 2 x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 13.3.2

اطرح $x^{\frac{3}{2}}$ من $4 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 x + 3 x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 13.4

أخرِج العامل $x$ من $2 x + 3 x^{\frac{3}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x$ .

$\frac{x \cdot 2 + 3 x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 13.4.2

أخرِج العامل $x$ من $3 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x \cdot 2 + x (3 x^{\frac{1}{2}})}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 13.4.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot 2 + x (3 x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x (2 + 3 x^{\frac{1}{2}})}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$