حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{x^{2} e^{\frac{1}{x}}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{1} = \frac{1}{x}$ . إذن $d u_{1} = - \frac{1}{x^{2}} d x$ ، لذا $- d u_{1} = \frac{1}{x^{2}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{1} = \frac{1}{x}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

خطوة 1.1.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

خطوة 1.1.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{- 1}{e^{u_{1}}} d u_{1}$

خطوة 2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int - \frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{1}$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{1}$

خطوة 4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اعكِس علامة أُس $e^{u_{1}}$ وأخرِجها من القاسم.

$- \int 1 {(e^{u_{1}})}^{- 1} d u_{1}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب الأُسس في ${(e^{u_{1}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int 1 e^{u_{1} \cdot - 1} d u_{1}$

خطوة 4.2.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $u_{1}$ .

$- \int 1 e^{- 1 \cdot u_{1}} d u_{1}$

خطوة 4.2.1.3

أعِد كتابة $- 1 u_{1}$ بالصيغة $- u_{1}$ .

$- \int 1 e^{- u_{1}} d u_{1}$

خطوة 4.2.2

اضرب $e^{- u_{1}}$ في $1$ .

$- \int e^{- u_{1}} d u_{1}$

خطوة 5

لنفترض أن $u_{2} = - u_{1}$ . إذن $d u_{2} = - d u_{1}$ ، لذا $- d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u_{2} = - u_{1}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $- u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$

خطوة 5.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، إذن مشتق $- u_{1}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 5.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$- \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 7.2

اضرب $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ في $1$ .

$\int e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 8

تكامل $e^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $e^{u_{2}}$ .

$e^{u_{2}} + C$

خطوة 9

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- u_{1}$ .

$e^{- u_{1}} + C$

خطوة 9.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\frac{1}{x}$ .

$e^{- \frac{1}{x}} + C$