حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{x^{2}}$

خطوة 1

افترض أن $y = f (x)$ ، خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{x^{2}})$

خطوة 2

وسّع $\ln (x^{x^{2}})$ بنقل $x^{2}$ خارج اللوغاريتم.

$\ln (y) = x^{2} \ln (x)$

خطوة 3

أوجِد مشتقة العبارة باستخدام قاعدة السلسلة، مع الأخذ في الاعتبار أن $y$ هو دالة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة الطرف الأيسر $\ln (y)$ باستخدام قاعدة السلسلة.

$\frac{y'}{y} = x^{2} \ln (x)$

خطوة 3.2

أوجِد مشتقة الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد مشتقة $x^{2} \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.2.3

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.2.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.2.4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.2.4.2.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.2.4.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.2.4.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y'}{y} = \frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.2.4.2.2.5

اقسِم $x$ على $1$ .

$\frac{y'}{y} = x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.2.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{y'}{y} = x + \ln (x) (2 x)$

خطوة 3.2.4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{y'}{y} = 2 x \ln (x) + x$

خطوة 4

اعزِل $y'$ وعوّض بالدالة الأصلية عن $y$ في الطرف الأيمن.

$y' = (2 x \ln (x) + x) x^{x^{2}}$

خطوة 5

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط $2 \ln (x)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$y' = (x \ln (x^{2}) + x) x^{x^{2}}$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y' = x \ln (x^{2}) x^{x^{2}} + x \cdot x^{x^{2}}$

خطوة 5.3

اضرب $x$ في $x^{x^{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

انقُل $x^{x^{2}}$ .

$y' = x^{x^{2}} x \ln (x^{2}) + x \cdot x^{x^{2}}$

خطوة 5.3.2

اضرب $x^{x^{2}}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y' = x^{x^{2}} x^{1} \ln (x^{2}) + x \cdot x^{x^{2}}$

خطوة 5.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y' = x^{x^{2} + 1} \ln (x^{2}) + x \cdot x^{x^{2}}$

خطوة 5.4

اضرب $x$ في $x^{x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y' = x^{x^{2} + 1} \ln (x^{2}) + x^{1} x^{x^{2}}$

خطوة 5.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y' = x^{x^{2} + 1} \ln (x^{2}) + x^{1 + x^{2}}$