حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{x - 2}{y + 3}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x - 2}{y + 3})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x - 2$ و $g (x) = y + 3$ .

$\frac{(y + 3) \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(y + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(y + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.3

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(y + 3) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{(y + 3) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.4.2

اضرب $y + 3$ في $1$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3])}{{(y + 3)}^{2}}$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) (y' + \frac{d}{d x} [3])}{{(y + 3)}^{2}}$

خطوة 3.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) (y' + 0)}{{(y + 3)}^{2}}$

خطوة 3.5

أضف $y'$ و $0$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) y'}{{(y + 3)}^{2}}$

خطوة 3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y + 3 + (- x - - 2) y'}{{(y + 3)}^{2}}$

خطوة 3.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y + 3 - x y' - - 2 y'}{{(y + 3)}^{2}}$

خطوة 3.6.3

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$\frac{y + 3 - x y' + 2 y'}{{(y + 3)}^{2}}$

خطوة 3.6.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب كلا الطرفين في ${(y + 3)}^{2}$ .

$y' {(y + 3)}^{2} = \frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}} {(y + 3)}^{2}$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط $\frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}} {(y + 3)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${(y + 3)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' {(y + 3)}^{2} = \frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}} {(y + 3)}^{2}$

خطوة 5.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' {(y + 3)}^{2} = - x y' + y + 2 y' + 3$

خطوة 5.2.1.2

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1

انقُل $x$ .

$y' {(y + 3)}^{2} = - 1 y' x + y + 2 y' + 3$

خطوة 5.2.1.2.2

انقُل $y$ .

$y' {(y + 3)}^{2} = - 1 y' x + 2 y' + y + 3$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

بما أن $y'$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

$- 1 y' x + 2 y' + y + 3 = y' {(y + 3)}^{2}$

خطوة 5.3.2

أعِد كتابة $- 1 y'$ بالصيغة $- y'$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' {(y + 3)}^{2}$

خطوة 5.3.3

بسّط $y' {(y + 3)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

أعِد كتابة ${(y + 3)}^{2}$ بالصيغة $(y + 3) (y + 3)$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' ((y + 3) (y + 3))$

خطوة 5.3.3.2

وسّع $(y + 3) (y + 3)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y (y + 3) + 3 (y + 3))$

خطوة 5.3.3.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y \cdot y + y \cdot 3 + 3 (y + 3))$

خطوة 5.3.3.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y \cdot y + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3)$

خطوة 5.3.3.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.3.1.1

اضرب $y$ في $y$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3)$

خطوة 5.3.3.3.1.2

انقُل $3$ إلى يسار $y$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + 3 \cdot y + 3 y + 3 \cdot 3)$

خطوة 5.3.3.3.1.3

اضرب $3$ في $3$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + 3 y + 3 y + 9)$

خطوة 5.3.3.3.2

أضف $3 y$ و $3 y$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + 6 y + 9)$

خطوة 5.3.3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' \cdot 9$

خطوة 5.3.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.5.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' y^{2} + 6 y' y + y' \cdot 9$

خطوة 5.3.3.5.2

انقُل $9$ إلى يسار $y'$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' y^{2} + 6 y' y + 9 \cdot y'$

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' y^{2} + 6 y' y + 9 y'$

خطوة 5.3.4

بما أن $y'$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

$y' y^{2} + 6 y' y + 9 y' = - y' x + 2 y' + y + 3$

خطوة 5.3.5

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.1

أضف $y' x$ إلى كلا المتعادلين.

$y' y^{2} + 6 y' y + 9 y' + y' x = 2 y' + y + 3$

خطوة 5.3.5.2

اطرح $2 y'$ من كلا المتعادلين.

$y' y^{2} + 6 y' y + 9 y' + y' x - 2 y' = y + 3$

خطوة 5.3.5.3

اطرح $2 y'$ من $9 y'$ .

$y' y^{2} + 6 y' y + y' x + 7 y' = y + 3$

خطوة 5.3.6

أخرِج العامل $y'$ من $y' y^{2} + 6 y' y + y' x + 7 y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.6.1

أخرِج العامل $y'$ من $y' y^{2}$ .

$y' (y^{2}) + 6 y' y + y' (x) + 7 y' = y + 3$

خطوة 5.3.6.2

أخرِج العامل $y'$ من $6 y' y$ .

$y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' (x) + 7 y' = y + 3$

خطوة 5.3.6.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' x$ .

$y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' (x) + 7 y' = y + 3$

خطوة 5.3.6.4

أخرِج العامل $y'$ من $7 y'$ .

$y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' (x) + y' \cdot 7 = y + 3$

خطوة 5.3.6.5

أخرِج العامل $y'$ من $y' (y^{2}) + y' (6 y)$ .

$y' (y^{2} + 6 y) + y' (x) + y' \cdot 7 = y + 3$

خطوة 5.3.6.6

أخرِج العامل $y'$ من $y' (y^{2} + 6 y) + y' (x)$ .

$y' (y^{2} + 6 y + x) + y' \cdot 7 = y + 3$

خطوة 5.3.6.7

أخرِج العامل $y'$ من $y' (y^{2} + 6 y + x) + y' \cdot 7$ .

$y' (y^{2} + 6 y + x + 7) = y + 3$

خطوة 5.3.7

اقسِم كل حد في $y' (y^{2} + 6 y + x + 7) = y + 3$ على $y^{2} + 6 y + x + 7$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.7.1

اقسِم كل حد في $y' (y^{2} + 6 y + x + 7) = y + 3$ على $y^{2} + 6 y + x + 7$ .

$\frac{y' (y^{2} + 6 y + x + 7)}{y^{2} + 6 y + x + 7} = \frac{y}{y^{2} + 6 y + x + 7} + \frac{3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

خطوة 5.3.7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2} + 6 y + x + 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (y^{2} + 6 y + x + 7)}{y^{2} + 6 y + x + 7} = \frac{y}{y^{2} + 6 y + x + 7} + \frac{3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

خطوة 5.3.7.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{y}{y^{2} + 6 y + x + 7} + \frac{3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

خطوة 5.3.7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.7.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{y + 3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + 3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$