حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos (4 x)}{x + x \cos (5 x)}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} x + x \cos (5 x)}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} x + x \cos (5 x)}$

خطوة 1.1.2.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} x + x \cos (5 x)}$

خطوة 1.1.2.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} x + x \cos (5 x)}$

خطوة 1.1.2.4

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x + x \cos (5 x)}$

خطوة 1.1.2.5

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{\sin (0) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x + x \cos (5 x)}$

خطوة 1.1.2.5.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{\sin (0) \cdot \cos (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x + x \cos (5 x)}$

خطوة 1.1.2.6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{0 \cdot \cos (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x + x \cos (5 x)}$

خطوة 1.1.2.6.2

اضرب $4$ في $0$ .

$\frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x + x \cos (5 x)}$

خطوة 1.1.2.6.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x + x \cos (5 x)}$

خطوة 1.1.2.6.4

اضرب $0$ في $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + x \cos (5 x)}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x \cos (5 x)}$

خطوة 1.1.3.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

خطوة 1.1.3.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 5 x)}$

خطوة 1.1.3.4

انقُل الحد $5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 1.1.3.5

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0 + lim_{x \to 0} x \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 1.1.3.5.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 1.1.3.5.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 \cdot \cos (5 \cdot 0)}$

خطوة 1.1.3.6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.6.1.1

اضرب $5$ في $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 \cdot \cos (0)}$

خطوة 1.1.3.6.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{0}{0 + 0 \cdot 1}$

خطوة 1.1.3.6.1.3

اضرب $0$ في $1$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

خطوة 1.1.3.6.2

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.6.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.7

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos (4 x)}{x + x \cos (5 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x + x \cos (5 x)]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x + x \cos (5 x)]}$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = \cos (4 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)] + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x + x \cos (5 x)]}$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x]) + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x + x \cos (5 x)]}$

خطوة 1.3.3.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x]) + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x + x \cos (5 x)]}$

خطوة 1.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]) + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x + x \cos (5 x)]}$

خطوة 1.3.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x + x \cos (5 x)]}$

خطوة 1.3.5

اضرب $4$ في $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (- 4 \sin (4 x) \frac{d}{d x} [x]) + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x + x \cos (5 x)]}$

خطوة 1.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (- 4 \sin (4 x) \cdot 1) + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x + x \cos (5 x)]}$

خطوة 1.3.7

اضرب $- 4$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (- 4 \sin (4 x)) + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x + x \cos (5 x)]}$

خطوة 1.3.8

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (- 4 \sin (4 x)) + \cos (4 x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x + x \cos (5 x)]}$

خطوة 1.3.9

أعِد ترتيب الحدود.

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{\frac{d}{d x} [x + x \cos (5 x)]}$

خطوة 1.3.10

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + x \cos (5 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x \cos (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x \cos (5 x)]}$

خطوة 1.3.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{1 + \frac{d}{d x} [x \cos (5 x)]}$

خطوة 1.3.12

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x \cos (5 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.12.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{1 + x \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.12.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.12.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{1 + x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.12.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{1 + x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.12.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{1 + x (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.12.3

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{1 + x (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.12.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{1 + x (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.12.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{1 + x (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) \cdot 1}$

خطوة 1.3.12.6

اضرب $5$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{1 + x (- \sin (5 x) \cdot 5) + \cos (5 x) \cdot 1}$

خطوة 1.3.12.7

اضرب $5$ في $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{1 + x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) \cdot 1}$

خطوة 1.3.12.8

اضرب $\cos (5 x)$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{1 + x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x)}$

خطوة 1.3.13

أعِد ترتيب الحدود.

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{- 5 x \sin (5 x) + 1 + \cos (5 x)}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} - 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} - 5 x \sin (5 x) + 1 + \cos (5 x)}$

خطوة 2.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} 4 \sin (x) \sin (4 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} - 5 x \sin (5 x) + 1 + \cos (5 x)}$

خطوة 2.3

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{- 4 lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (4 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} - 5 x \sin (5 x) + 1 + \cos (5 x)}$

خطوة 2.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{- 4 lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} - 5 x \sin (5 x) + 1 + \cos (5 x)}$

خطوة 2.5

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} - 5 x \sin (5 x) + 1 + \cos (5 x)}$

خطوة 2.6

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 4 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} - 5 x \sin (5 x) + 1 + \cos (5 x)}$

خطوة 2.7

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} - 5 x \sin (5 x) + 1 + \cos (5 x)}$

خطوة 2.8

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} - 5 x \sin (5 x) + 1 + \cos (5 x)}$

خطوة 2.9

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} - 5 x \sin (5 x) + 1 + \cos (5 x)}$

خطوة 2.10

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} - 5 x \sin (5 x) + 1 + \cos (5 x)}$

خطوة 2.11

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 5 x \sin (5 x) + 1 + \cos (5 x)}$

خطوة 2.12

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} 5 x \sin (5 x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

خطوة 2.13

انقُل الحد $5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 5 lim_{x \to 0} x \sin (5 x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

خطوة 2.14

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 5 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

خطوة 2.15

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 5 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 5 x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

خطوة 2.16

انقُل الحد $5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 5 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

خطوة 2.17

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 5 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + 1 + lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

خطوة 2.18

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 5 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (lim_{x \to 0} 5 x)}$

خطوة 2.19

انقُل الحد $5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 5 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 3

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{- 4 \sin (0) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 5 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{- 4 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 5 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 3.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{- 4 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 5 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 3.4

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{- 4 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0)}{- 5 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 3.5

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{- 4 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0)}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 3.6

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{- 4 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0)}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 3.7

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{- 4 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0)}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0)}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

خطوة 4.1.2

اضرب $- 4$ في $0$ .

$\frac{0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0)}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

خطوة 4.1.3

اضرب $4$ في $0$ .

$\frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0)}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

خطوة 4.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{0 \cdot 0 + \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0)}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

خطوة 4.1.5

اضرب $0$ في $0$ .

$\frac{0 + \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0)}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

خطوة 4.1.6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{0 + 1 \cdot \cos (4 \cdot 0)}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

خطوة 4.1.7

اضرب $\cos (4 \cdot 0)$ في $1$ .

$\frac{0 + \cos (4 \cdot 0)}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

خطوة 4.1.8

اضرب $4$ في $0$ .

$\frac{0 + \cos (0)}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

خطوة 4.1.9

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{0 + 1}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

خطوة 4.1.10

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{1}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

خطوة 4.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $- 5$ في $0$ .

$\frac{1}{0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

خطوة 4.2.2

اضرب $5$ في $0$ .

$\frac{1}{0 \cdot \sin (0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

خطوة 4.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{1}{0 \cdot 0 + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

خطوة 4.2.4

اضرب $0$ في $0$ .

$\frac{1}{0 + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

خطوة 4.2.5

اضرب $5$ في $0$ .

$\frac{1}{0 + 1 + \cos (0)}$

خطوة 4.2.6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{1}{0 + 1 + 1}$

خطوة 4.2.7

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{1}{1 + 1}$

خطوة 4.2.8

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{2}$

الصيغة العشرية:

$0.5$