حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{i = 4}^{10} \frac{i - i^{2}}{3}$

خطوة 1

بسّط المجموع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $i$ من $i - i^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

ارفع $i$ إلى القوة $1$ .

$\frac{i^{1} - i^{2}}{3}$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $i$ من $i^{1}$ .

$\frac{i \cdot 1 - i^{2}}{3}$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $i$ من $- i^{2}$ .

$\frac{i \cdot 1 + i (- i)}{3}$

خطوة 1.1.4

أخرِج العامل $i$ من $i \cdot 1 + i (- i)$ .

$\frac{i (1 - i)}{3}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المجموع.

$\sum_{i = 4}^{10} \frac{i (1 - i)}{3}$

خطوة 2

قسّم المجموع لتجعل قيمة البداية لـ $i$ تساوي $1$ .

$\sum_{i = 4}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3} = \sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3} - \sum_{i = 1}^{3} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3}$

خطوة 3

احسِب قيمة $\sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط المجموع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{i - i^{2}}{3}$

خطوة 3.1.2

أعِد كتابة المجموع.

$\sum_{i = 1}^{10} \frac{i - i^{2}}{3}$

خطوة 3.2

قسّم المجموع إلى مجاميع أصغر تتناسب مع قواعد الجمع.

$\sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3} = \sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} + \sum_{i = 1}^{10} - \frac{i^{2}}{3}$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج $\frac{1}{3}$ من المجموع.

$\frac{1}{3} \sum_{k = 1}^{10} i$

خطوة 3.3.2

صيغة جمع متعدد الحدود ذي الدرجة $1$ هي:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

خطوة 3.3.3

عوّض بالقيم في القاعدة وتأكد من الضرب في الحد الأمامي.

$(\frac{1}{3}) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

خطوة 3.3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1.1

أضف $10$ و $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{10 \cdot 11}{2}$

خطوة 3.3.4.1.2

اضرب $10$ في $11$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{110}{2}$

خطوة 3.3.4.1.3

اقسِم $110$ على $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot 55$

خطوة 3.3.4.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $55$ .

$\frac{55}{3}$

خطوة 3.4

احسِب قيمة $\sum_{i = 1}^{10} - \frac{i^{2}}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج $- \frac{1}{3}$ من المجموع.

$- \frac{1}{3} \sum_{k = 1}^{10} i^{2}$

خطوة 3.4.2

صيغة جمع متعدد الحدود ذي الدرجة $2$ هي:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

خطوة 3.4.3

عوّض بالقيم في القاعدة وتأكد من الضرب في الحد الأمامي.

$(- \frac{1}{3}) (\frac{10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)}{6})$

خطوة 3.4.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1.1

أضف $10$ و $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{10 \cdot 11 (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

خطوة 3.4.4.1.2

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1.2.1

اضرب $10$ في $11$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{110 (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

خطوة 3.4.4.1.2.2

اضرب $2$ في $10$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{110 (20 + 1)}{6}$

خطوة 3.4.4.1.3

أضف $20$ و $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{110 \cdot 21}{6}$

خطوة 3.4.4.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.2.1

اضرب $110$ في $21$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2310}{6}$

خطوة 3.4.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.2.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{3}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{2310}{6}$

خطوة 3.4.4.2.2.2

أخرِج العامل $3$ من $2310$ .

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 (770)}{6}$

خطوة 3.4.4.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 770}{6}$

خطوة 3.4.4.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 (\frac{770}{6})$

خطوة 3.4.4.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $770$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $770$ .

$- 1 \frac{2 (385)}{6}$

خطوة 3.4.4.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$- 1 \frac{2 \cdot 385}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.4.4.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 1 \frac{2 \cdot 385}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.4.4.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 (\frac{385}{3})$

خطوة 3.4.4.2.4

أعِد كتابة $- 1 (\frac{385}{3})$ بالصيغة $- (\frac{385}{3})$ .

$- \frac{385}{3}$

خطوة 3.5

أضف نتائج المجاميع.

$\frac{55}{3} - \frac{385}{3}$

خطوة 3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{55 - 385}{3}$

خطوة 3.6.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1

اطرح $385$ من $55$ .

$\frac{- 330}{3}$

خطوة 3.6.2.2

اقسِم $- 330$ على $3$ .

$- 110$

خطوة 4

احسِب قيمة $\sum_{i = 1}^{3} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط المجموع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{i - i^{2}}{3}$

خطوة 4.1.2

أعِد كتابة المجموع.

$\sum_{i = 1}^{3} \frac{i - i^{2}}{3}$

خطوة 4.2

وسّع السلسلة لكل قيمة من قيم $i$ .

$\frac{1 - 1^{2}}{3} + \frac{2 - 2^{2}}{3} + \frac{3 - 3^{2}}{3}$

خطوة 4.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1 - 1^{2} + 2 - 2^{2} + 3 - 3^{2}}{3}$

خطوة 4.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + 2 - 2^{2} + 3 - 3^{2}}{3}$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 2^{2} + 3 - 3^{2}}{3}$

خطوة 4.3.2.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 1 \cdot 4 + 3 - 3^{2}}{3}$

خطوة 4.3.2.4

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 4 + 3 - 3^{2}}{3}$

خطوة 4.3.2.5

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 4 + 3 - 1 \cdot 9}{3}$

خطوة 4.3.2.6

اضرب $- 1$ في $9$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 4 + 3 - 9}{3}$

خطوة 4.3.3

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{0 + 2 - 4 + 3 - 9}{3}$

خطوة 4.3.4

أضف $0$ و $2$ .

$\frac{2 - 4 + 3 - 9}{3}$

خطوة 4.3.5

اطرح $4$ من $2$ .

$\frac{- 2 + 3 - 9}{3}$

خطوة 4.3.6

أضف $- 2$ و $3$ .

$\frac{1 - 9}{3}$

خطوة 4.3.7

اطرح $9$ من $1$ .

$\frac{- 8}{3}$

خطوة 4.3.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{8}{3}$

خطوة 5

استبدِل المجاميع بالقيم التي تم إيجادها.

$- 110 + \frac{8}{3}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

لكتابة $- 110$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- 110 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3}$

خطوة 6.2

اجمع $- 110$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 110 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3}$

خطوة 6.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 110 \cdot 3 + 8}{3}$

خطوة 6.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

اضرب $- 110$ في $3$ .

$\frac{- 330 + 8}{3}$

خطوة 6.4.2

أضف $- 330$ و $8$ .

$\frac{- 322}{3}$

خطوة 6.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{322}{3}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{322}{3}$

الصيغة العشرية:

$- 107.\overline{3}$

صيغة العدد الذي به كسر:

$- 107 \frac{1}{3}$