حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x e^{y} = 2 x y + y^{3}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x e^{y}) = \frac{d}{d x} (2 x y + y^{3})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{y}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$x (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x e^{y} y' + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x e^{y} y' + e^{y} \cdot 1$

خطوة 2.5

اضرب $e^{y}$ في $1$ .

$x e^{y} y' + e^{y}$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x y + y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 3.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 3.2.5

اضرب $y$ في $1$ .

$2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$2 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$2 (x y' + y) + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 (x y' + y) + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 (x y' + y) + 3 y^{2} y'$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (x y') + 2 y + 3 y^{2} y'$

خطوة 3.4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$2 x y' + 3 y^{2} y' + 2 y$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$x e^{y} y' + e^{y} = 2 x y' + 3 y^{2} y' + 2 y$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $y'$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

$2 x y' + 3 y^{2} y' + 2 y = x e^{y} y' + e^{y}$

خطوة 5.2

أعِد ترتيب العوامل في $x e^{y} y' + e^{y}$ .

$2 x y' + 3 y^{2} y' + 2 y = x y' e^{y} + e^{y}$

خطوة 5.3

اطرح $x y' e^{y}$ من كلا المتعادلين.

$2 x y' + 3 y^{2} y' + 2 y - x y' e^{y} = e^{y}$

خطوة 5.4

اطرح $2 y$ من كلا المتعادلين.

$2 x y' + 3 y^{2} y' - x y' e^{y} = e^{y} - 2 y$

خطوة 5.5

أخرِج العامل $y'$ من $2 x y' + 3 y^{2} y' - x y' e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أخرِج العامل $y'$ من $2 x y'$ .

$y' (2 x) + 3 y^{2} y' - x y' e^{y} = e^{y} - 2 y$

خطوة 5.5.2

أخرِج العامل $y'$ من $3 y^{2} y'$ .

$y' (2 x) + y' (3 y^{2}) - x y' e^{y} = e^{y} - 2 y$

خطوة 5.5.3

أخرِج العامل $y'$ من $- x y' e^{y}$ .

$y' (2 x) + y' (3 y^{2}) + y' (- x e^{y}) = e^{y} - 2 y$

خطوة 5.5.4

أخرِج العامل $y'$ من $y' (2 x) + y' (3 y^{2})$ .

$y' (2 x + 3 y^{2}) + y' (- x e^{y}) = e^{y} - 2 y$

خطوة 5.5.5

أخرِج العامل $y'$ من $y' (2 x + 3 y^{2}) + y' (- x e^{y})$ .

$y' (2 x + 3 y^{2} - x e^{y}) = e^{y} - 2 y$

خطوة 5.6

اقسِم كل حد في $y' (2 x + 3 y^{2} - x e^{y}) = e^{y} - 2 y$ على $2 x + 3 y^{2} - x e^{y}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

اقسِم كل حد في $y' (2 x + 3 y^{2} - x e^{y}) = e^{y} - 2 y$ على $2 x + 3 y^{2} - x e^{y}$ .

$\frac{y' (2 x + 3 y^{2} - x e^{y})}{2 x + 3 y^{2} - x e^{y}} = \frac{e^{y}}{2 x + 3 y^{2} - x e^{y}} + \frac{- 2 y}{2 x + 3 y^{2} - x e^{y}}$

خطوة 5.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2 x + 3 y^{2} - x e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (2 x + 3 y^{2} - x e^{y})}{2 x + 3 y^{2} - x e^{y}} = \frac{e^{y}}{2 x + 3 y^{2} - x e^{y}} + \frac{- 2 y}{2 x + 3 y^{2} - x e^{y}}$

خطوة 5.6.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{e^{y}}{2 x + 3 y^{2} - x e^{y}} + \frac{- 2 y}{2 x + 3 y^{2} - x e^{y}}$

خطوة 5.6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{e^{y} - 2 y}{2 x + 3 y^{2} - x e^{y}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{y} - 2 y}{2 x + 3 y^{2} - x e^{y}}$