حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{- t e^{- t} + e^{- t}}{e^{t}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ هو $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ حيث $f (t) = - t e^{- t} + e^{- t}$ و $g (t) = e^{t}$ .

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [- t e^{- t} + e^{- t}] - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{{(e^{t})}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب الأُسس في ${(e^{t})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [- t e^{- t} + e^{- t}] - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{t \cdot 2}}$

خطوة 2.1.2

انقُل $2$ إلى يسار $t$ .

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [- t e^{- t} + e^{- t}] - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- t e^{- t} + e^{- t}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [- t e^{- t}] + \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ .

$\frac{e^{t} (\frac{d}{d t} [- t e^{- t}] + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

خطوة 2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- t e^{- t}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$ .

$\frac{e^{t} (- \frac{d}{d t} [t e^{- t}] + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ هو $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ حيث $f (t) = t$ و $g (t) = e^{- t}$ .

$\frac{e^{t} (- (t \frac{d}{d t} [e^{- t}] + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = e^{t}$ و $g (t) = - t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $- t$ .

$\frac{e^{t} (- (t (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{e^{t} (- (t (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- t$ .

$\frac{e^{t} (- (t (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

خطوة 5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{t} (- (t (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t])) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

خطوة 5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{e^{t} (- (t (e^{- t} (- 1 \cdot 1)) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

خطوة 5.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{e^{t} (- (t (e^{- t} \cdot - 1) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

خطوة 5.3.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- t}$ .

$\frac{e^{t} (- (t (- 1 \cdot e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

خطوة 5.3.3

أعِد كتابة $- 1 e^{- t}$ بالصيغة $- e^{- t}$ .

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

خطوة 5.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t} \cdot 1) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

خطوة 5.5

اضرب $e^{- t}$ في $1$ .

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) + \frac{d}{d t} [e^{- t}]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

خطوة 6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = e^{t}$ و $g (t) = - t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $- t$ .

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

خطوة 6.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

خطوة 6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- t$ .

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

خطوة 7

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) + e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t])) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

خطوة 7.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) + e^{- t} (- 1 \cdot 1)) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

خطوة 7.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) + e^{- t} \cdot - 1) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

خطوة 7.3.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- t}$ .

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) - 1 \cdot e^{- t}) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

خطوة 7.3.3

أعِد كتابة $- 1 e^{- t}$ بالصيغة $- e^{- t}$ .

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) - e^{- t}) - (- t e^{- t} + e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

خطوة 8

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ هو $a^{t} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}) + e^{- t}) - e^{- t}) - (- t e^{- t} + e^{- t}) e^{t}}{e^{2 t}}$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t})) - e^{- t} - e^{- t}) - (- t e^{- t} + e^{- t}) e^{t}}{e^{2 t}}$

خطوة 9.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t} + e^{- t}) e^{t}}{e^{2 t}}$

خطوة 9.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) + (- (- t e^{- t}) - e^{- t}) e^{t}}{e^{2 t}}$

خطوة 9.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e^{t} (- (t (- e^{- t}))) + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

خطوة 9.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{- 1 \cdot - 1 e^{t} (t e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

خطوة 9.5.1.2

اضرب $e^{t}$ في $e^{- t}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1.2.1

انقُل $e^{- t}$ .

$\frac{- 1 \cdot - 1 (e^{- t} e^{t}) t + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

خطوة 9.5.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 1 \cdot - 1 e^{- t + t} t + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

خطوة 9.5.1.2.3

أضف $- t$ و $t$ .

$\frac{- 1 \cdot - 1 e^{0} t + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

خطوة 9.5.1.3

بسّط $- 1 \cdot - 1 e^{0} t$ .

$\frac{- 1 \cdot - 1 t + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

خطوة 9.5.1.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1 t + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

خطوة 9.5.1.5

اضرب $t$ في $1$ .

$\frac{t + e^{t} (- e^{- t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

خطوة 9.5.1.6

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{t - e^{t} e^{- t} + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

خطوة 9.5.1.7

اضرب $e^{t}$ في $e^{- t}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1.7.1

انقُل $e^{- t}$ .

$\frac{t - (e^{- t} e^{t}) + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

خطوة 9.5.1.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{t - e^{- t + t} + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

خطوة 9.5.1.7.3

أضف $- t$ و $t$ .

$\frac{t - e^{0} + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

خطوة 9.5.1.8

بسّط $- e^{0}$ .

$\frac{t - 1 + e^{t} (- e^{- t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

خطوة 9.5.1.9

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{t - 1 - e^{t} e^{- t} - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

خطوة 9.5.1.10

اضرب $e^{t}$ في $e^{- t}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1.10.1

انقُل $e^{- t}$ .

$\frac{t - 1 - (e^{- t} e^{t}) - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

خطوة 9.5.1.10.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{t - 1 - e^{- t + t} - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

خطوة 9.5.1.10.3

أضف $- t$ و $t$ .

$\frac{t - 1 - e^{0} - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

خطوة 9.5.1.11

بسّط $- e^{0}$ .

$\frac{t - 1 - 1 - (- t e^{- t}) e^{t} - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

خطوة 9.5.1.12

اضرب $e^{- t}$ في $e^{t}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1.12.1

انقُل $e^{t}$ .

$\frac{t - 1 - 1 - (- t (e^{t} e^{- t})) - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

خطوة 9.5.1.12.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{t - 1 - 1 - (- t e^{t - t}) - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

خطوة 9.5.1.12.3

اطرح $t$ من $t$ .

$\frac{t - 1 - 1 - (- t e^{0}) - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

خطوة 9.5.1.13

بسّط $- (- t e^{0})$ .

$\frac{t - 1 - 1 - - t - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

خطوة 9.5.1.14

اضرب $- - t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1.14.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{t - 1 - 1 + 1 t - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

خطوة 9.5.1.14.2

اضرب $t$ في $1$ .

$\frac{t - 1 - 1 + t - e^{- t} e^{t}}{e^{2 t}}$

خطوة 9.5.1.15

اضرب $e^{- t}$ في $e^{t}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1.15.1

انقُل $e^{t}$ .

$\frac{t - 1 - 1 + t - (e^{t} e^{- t})}{e^{2 t}}$

خطوة 9.5.1.15.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{t - 1 - 1 + t - e^{t - t}}{e^{2 t}}$

خطوة 9.5.1.15.3

اطرح $t$ من $t$ .

$\frac{t - 1 - 1 + t - e^{0}}{e^{2 t}}$

خطوة 9.5.1.16

بسّط $- e^{0}$ .

$\frac{t - 1 - 1 + t - 1}{e^{2 t}}$

خطوة 9.5.2

أضف $t$ و $t$ .

$\frac{2 t - 1 - 1 - 1}{e^{2 t}}$

خطوة 9.5.3

اطرح $1$ من $- 1$ .

$\frac{2 t - 2 - 1}{e^{2 t}}$

خطوة 9.5.4

اطرح $1$ من $- 2$ .

$\frac{2 t - 3}{e^{2 t}}$