حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\cos (3 y) + \sin (2 x) = 2 x + 3 y$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\cos (3 y) + \sin (2 x)) = \frac{d}{d x} (2 x + 3 y)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\cos (3 y) + \sin (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\cos (3 y)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (3 y)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\cos (3 y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 3 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $3 y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 2.2.1.2

مشتق $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 y$ .

$- \sin (3 y) \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 2.2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (3 y) (3 \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$- \sin (3 y) (3 y') + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 2.2.4

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 x$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.3.1.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

خطوة 2.3.4

اضرب $2$ في $1$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \cos (2 x) \cdot 2$

خطوة 2.3.5

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 x)$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + 2 \cos (2 x)$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 3 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 3.2.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 + 3 \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 + 3 y'$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$3 y' + 2$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- 3 \sin (3 y) y' + 2 \cos (2 x) = 3 y' + 2$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استخدِم متطابقة ضعف الزاوية لتحويل $\cos (2 x)$ إلى $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 3 y' + 2$

خطوة 5.2

اطرح $2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$ من كلا المتعادلين.

$- 3 \sin (3 y) y' = 3 y' + 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

خطوة 5.3

اطرح $3 y'$ من كلا المتعادلين.

$- 3 \sin (3 y) y' - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

خطوة 5.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

بسّط $- 3 \sin (3 y) y' - 3 y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1.1

طبّق المتطابقة ثلاثية الزوايا للجيب.

$- 3 (- 4 \sin^{3} (y) + 3 \sin (y)) y' - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

خطوة 5.4.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(- 3 (- 4 \sin^{3} (y)) - 3 (3 \sin (y))) y' - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

خطوة 5.4.1.1.3

اضرب $- 4$ في $- 3$ .

$(12 \sin^{3} (y) - 3 (3 \sin (y))) y' - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

خطوة 5.4.1.1.4

اضرب $3$ في $- 3$ .

$(12 \sin^{3} (y) - 9 \sin (y)) y' - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

خطوة 5.4.1.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$12 \sin^{3} (y) y' - 9 \sin (y) y' - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

خطوة 5.4.1.2

أعِد ترتيب العوامل في $12 \sin^{3} (y) y' - 9 \sin (y) y' - 3 y'$ .

$12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

خطوة 5.5

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

بسّط $2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 2 - 2 \cdot 1 - 2 (- 2 \sin^{2} (x))$

خطوة 5.5.1.1.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 2 - 2 - 2 (- 2 \sin^{2} (x))$

خطوة 5.5.1.1.3

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 2 - 2 + 4 \sin^{2} (x)$

خطوة 5.5.1.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.2.1

اطرح $2$ من $2$ .

$12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 0 + 4 \sin^{2} (x)$

خطوة 5.5.1.2.2

أضف $0$ و $4 \sin^{2} (x)$ .

$12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 4 \sin^{2} (x)$

خطوة 5.6

أوجِد قيمة $y'$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

أخرِج العامل $3 y'$ من $12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.1

أخرِج العامل $3 y'$ من $12 y' \sin^{3} (y)$ .

$3 y' (4 \sin^{3} (y)) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 4 \sin^{2} (x)$

خطوة 5.6.1.2

أخرِج العامل $3 y'$ من $- 9 y' \sin (y)$ .

$3 y' (4 \sin^{3} (y)) + 3 y' (- 3 \sin (y)) - 3 y' = 4 \sin^{2} (x)$

خطوة 5.6.1.3

أخرِج العامل $3 y'$ من $- 3 y'$ .

$3 y' (4 \sin^{3} (y)) + 3 y' (- 3 \sin (y)) + 3 y' \cdot - 1 = 4 \sin^{2} (x)$

خطوة 5.6.1.4

أخرِج العامل $3 y'$ من $3 y' (4 \sin^{3} (y)) + 3 y' (- 3 \sin (y))$ .

$3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y)) + 3 y' \cdot - 1 = 4 \sin^{2} (x)$

خطوة 5.6.1.5

أخرِج العامل $3 y'$ من $3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y)) + 3 y' \cdot - 1$ .

$3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1) = 4 \sin^{2} (x)$

خطوة 5.6.2

اقسِم كل حد في $3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1) = 4 \sin^{2} (x)$ على $3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

اقسِم كل حد في $3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1) = 4 \sin^{2} (x)$ على $3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)$ .

$\frac{3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)} = \frac{4 \sin^{2} (x)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}$

خطوة 5.6.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)} = \frac{4 \sin^{2} (x)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}$

خطوة 5.6.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}{4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1} = \frac{4 \sin^{2} (x)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}$

خطوة 5.6.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}{4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1} = \frac{4 \sin^{2} (x)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}$

خطوة 5.6.2.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{4 \sin^{2} (x)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 \sin^{2} (x)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}$