حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{n = 4}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

خطوة 1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{n}}$ في $\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

خطوة 1.2

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{n}}$ في $\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}}$ .

$\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n} \sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

خطوة 1.2.2

ارفع $\sqrt{n}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\sqrt{n}}{{\sqrt{n}}^{1} \sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

خطوة 1.2.3

ارفع $\sqrt{n}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\sqrt{n}}{{\sqrt{n}}^{1} {\sqrt{n}}^{1}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

خطوة 1.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\sqrt{n}}{{\sqrt{n}}^{1 + 1}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

خطوة 1.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\sqrt{n}}{{\sqrt{n}}^{2}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

خطوة 1.2.6

أعِد كتابة ${\sqrt{n}}^{2}$ بالصيغة $n$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{n}$ في صورة $n^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{n}}{{(n^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

خطوة 1.2.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

خطوة 1.2.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

خطوة 1.2.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{n}}{n^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

خطوة 1.2.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{n}}{n^{1}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

خطوة 1.2.6.5

بسّط.

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

خطوة 1.3

اضرب $\frac{1}{\sqrt{n + 1}}$ في $\frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} - (\frac{1}{\sqrt{n + 1}} \cdot \frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 1}})$

خطوة 1.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{n + 1}}$ في $\frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 1} \sqrt{n + 1}}$

خطوة 1.4.2

ارفع $\sqrt{n + 1}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{\sqrt{n + 1}}^{1} \sqrt{n + 1}}$

خطوة 1.4.3

ارفع $\sqrt{n + 1}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{\sqrt{n + 1}}^{1} {\sqrt{n + 1}}^{1}}$

خطوة 1.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{\sqrt{n + 1}}^{1 + 1}}$

خطوة 1.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{\sqrt{n + 1}}^{2}}$

خطوة 1.4.6

أعِد كتابة ${\sqrt{n + 1}}^{2}$ بالصيغة $n + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{n + 1}$ في صورة ${(n + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{({(n + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 1.4.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{(n + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 1.4.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{(n + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 1.4.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{(n + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 1.4.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{(n + 1)}^{1}}$

خطوة 1.4.6.5

بسّط.

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{n + 1}$

خطوة 2

لكتابة $\frac{\sqrt{n}}{n}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{n + 1}{n + 1}$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} \cdot \frac{n + 1}{n + 1} - \frac{\sqrt{n + 1}}{n + 1}$

خطوة 3

لكتابة $- \frac{\sqrt{n + 1}}{n + 1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{n}{n}$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} \cdot \frac{n + 1}{n + 1} - \frac{\sqrt{n + 1}}{n + 1} \cdot \frac{n}{n}$

خطوة 4

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $n (n + 1)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $\frac{\sqrt{n}}{n}$ في $\frac{n + 1}{n + 1}$ .

$\frac{\sqrt{n} (n + 1)}{n (n + 1)} - \frac{\sqrt{n + 1}}{n + 1} \cdot \frac{n}{n}$

خطوة 4.2

اضرب $\frac{\sqrt{n + 1}}{n + 1}$ في $\frac{n}{n}$ .

$\frac{\sqrt{n} (n + 1)}{n (n + 1)} - \frac{\sqrt{n + 1} n}{(n + 1) n}$

خطوة 4.3

أعِد ترتيب عوامل $(n + 1) n$ .

$\frac{\sqrt{n} (n + 1)}{n (n + 1)} - \frac{\sqrt{n + 1} n}{n (n + 1)}$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\sqrt{n} (n + 1) - \sqrt{n + 1} n}{n (n + 1)}$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{n}$ في صورة $n^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (n + 1) - \sqrt{n + 1} n}{n (n + 1)}$

خطوة 6.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{n + 1}$ في صورة ${(n + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (n + 1) - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

خطوة 6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{n^{\frac{1}{2}} n + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

خطوة 6.4

اضرب $n^{\frac{1}{2}}$ في $n$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

اضرب $n^{\frac{1}{2}}$ في $n$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.1

ارفع $n$ إلى القوة $1$ .

$\frac{n^{\frac{1}{2}} n^{1} + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

خطوة 6.4.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{n^{\frac{1}{2} + 1} + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

خطوة 6.4.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{n^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

خطوة 6.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{n^{\frac{1 + 2}{2}} + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

خطوة 6.4.4

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{n^{\frac{3}{2}} + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

خطوة 6.5

اضرب $n^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$\frac{n^{\frac{3}{2}} + n^{\frac{1}{2}} - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

خطوة 6.6

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- n {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{3}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}{n (n + 1)}$

خطوة 6.7

أعِد كتابة $- n {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{3}{2}} + n^{\frac{1}{2}}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1

أخرِج العامل $n^{\frac{1}{2}}$ من $- n {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{3}{2}} + n^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1.1

أخرِج العامل $n^{\frac{1}{2}}$ من $- n {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) + n^{\frac{3}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}{n (n + 1)}$

خطوة 6.7.1.2

أخرِج العامل $n^{\frac{1}{2}}$ من $n^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) + n^{\frac{1}{2}} n^{\frac{2}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}{n (n + 1)}$

خطوة 6.7.1.3

اضرب في $1$ .

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) + n^{\frac{1}{2}} n^{\frac{2}{2}} + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{n (n + 1)}$

خطوة 6.7.1.4

أخرِج العامل $n^{\frac{1}{2}}$ من $n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) + n^{\frac{1}{2}} n^{\frac{2}{2}}$ .

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{2}{2}}) + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{n (n + 1)}$

خطوة 6.7.1.5

أخرِج العامل $n^{\frac{1}{2}}$ من $n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{2}{2}}) + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1$ .

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{2}{2}} + 1)}{n (n + 1)}$

خطوة 6.7.2

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{1} + 1)}{n (n + 1)}$

خطوة 6.7.3

بسّط.

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1)}{n (n + 1)}$

خطوة 7

انقُل $n^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n (n + 1) n^{- \frac{1}{2}}}$

خطوة 8

اضرب $n$ في $n^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل $n^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n^{- \frac{1}{2}} n (n + 1)}$

خطوة 8.2

اضرب $n^{- \frac{1}{2}}$ في $n$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ارفع $n$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n^{- \frac{1}{2}} n^{1} (n + 1)}$

خطوة 8.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n^{- \frac{1}{2} + 1} (n + 1)}$

خطوة 8.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (n + 1)}$

خطوة 8.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n^{\frac{- 1 + 2}{2}} (n + 1)}$

خطوة 8.5

أضف $- 1$ و $2$ .

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

خطوة 9

أخرِج العامل $- 1$ من $- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) + n + 1}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

خطوة 10

أخرِج العامل $- 1$ من $n$ .

$\frac{- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (- n) + 1}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

خطوة 11

أخرِج العامل $- 1$ من $- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (- n)$ .

$\frac{- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n) + 1}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

خطوة 12

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n) - 1 (- 1)}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

خطوة 13

أخرِج العامل $- 1$ من $- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n - 1)}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

خطوة 14

أعِد كتابة $- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n - 1)$ بالصيغة $- 1 (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n - 1)$ .

$\frac{- 1 (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n - 1)}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

خطوة 15

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n - 1}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

خطوة 16

أعِد كتابة المجموع.

$\sum_{n = 4}^{\infty} - \frac{n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n - 1}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$