حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y \cos (3 x - y) = 6 x y - 2$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y \cos (3 x - y)) = \frac{d}{d x} (6 x y - 2)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = y$ و $g (x) = \cos (3 x - y)$ .

$y \frac{d}{d x} [\cos (3 x - y)] + \cos (3 x - y) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 3 x - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 x - y$ .

$y (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x - y]) + \cos (3 x - y) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$y (- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x - y]) + \cos (3 x - y) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x - y$ .

$y (- \sin (3 x - y) \frac{d}{d x} [3 x - y]) + \cos (3 x - y) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x - y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$y (- \sin (3 x - y) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y])) + \cos (3 x - y) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (- \sin (3 x - y) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])) + \cos (3 x - y) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$y (- \sin (3 x - y) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y])) + \cos (3 x - y) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.4

اضرب $3$ في $1$ .

$y (- \sin (3 x - y) (3 + \frac{d}{d x} [- y])) + \cos (3 x - y) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$y (- \sin (3 x - y) (3 - \frac{d}{d x} [y])) + \cos (3 x - y) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$y (- \sin (3 x - y) (3 - y')) + \cos (3 x - y) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.5

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$y (- \sin (3 x - y) (3 - y')) + \cos (3 x - y) y'$

خطوة 2.6

أعِد ترتيب الحدود.

$- y \sin (3 x - y) (3 - y') + \cos (3 x - y) y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 x y - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 3.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 3.2.5

اضرب $y$ في $1$ .

$6 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 3.3

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$6 (x y' + y) + 0$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$6 (x y') + 6 y + 0$

خطوة 3.4.2

أضف $6 x y' + 6 y$ و $0$ .

$6 x y' + 6 y$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- y \sin (3 x - y) (3 - y') + \cos (3 x - y) y' = 6 x y' + 6 y$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

بسّط $- y \sin (3 x - y) (3 - y') + \cos (3 x - y) y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- y \sin (3 x - y) \cdot 3 - y \sin (3 x - y) (- y') + \cos (3 x - y) y' = 6 x y' + 6 y$

خطوة 5.1.1.1.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- 3 y \sin (3 x - y) - y \sin (3 x - y) (- y') + \cos (3 x - y) y' = 6 x y' + 6 y$

خطوة 5.1.1.1.3

اضرب $- y \sin (3 x - y) (- y')$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- 3 y \sin (3 x - y) + 1 y \sin (3 x - y) y' + \cos (3 x - y) y' = 6 x y' + 6 y$

خطوة 5.1.1.1.3.2

اضرب $y$ في $1$ .

$- 3 y \sin (3 x - y) + y \sin (3 x - y) y' + \cos (3 x - y) y' = 6 x y' + 6 y$

خطوة 5.1.1.2

أعِد ترتيب العوامل في $- 3 y \sin (3 x - y) + y \sin (3 x - y) y' + \cos (3 x - y) y'$ .

$- 3 y \sin (3 x - y) + y y' \sin (3 x - y) + y' \cos (3 x - y) = 6 x y' + 6 y$

خطوة 5.2

اطرح $6 x y'$ من كلا المتعادلين.

$- 3 y \sin (3 x - y) + y y' \sin (3 x - y) + y' \cos (3 x - y) - 6 x y' = 6 y$

خطوة 5.3

أضف $3 y \sin (3 x - y)$ إلى كلا المتعادلين.

$y y' \sin (3 x - y) + y' \cos (3 x - y) - 6 x y' = 6 y + 3 y \sin (3 x - y)$

خطوة 5.4

أخرِج العامل $y'$ من $y y' \sin (3 x - y) + y' \cos (3 x - y) - 6 x y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $y'$ من $y y' \sin (3 x - y)$ .

$y' (y \sin (3 x - y)) + y' (\cos (3 x - y)) - 6 x y' = 6 y + 3 y \sin (3 x - y)$

خطوة 5.4.2

أخرِج العامل $y'$ من $y' \cos (3 x - y)$ .

$y' (y \sin (3 x - y)) + y' (\cos (3 x - y)) - 6 x y' = 6 y + 3 y \sin (3 x - y)$

خطوة 5.4.3

أخرِج العامل $y'$ من $- 6 x y'$ .

$y' (y \sin (3 x - y)) + y' (\cos (3 x - y)) + y' (- 6 x) = 6 y + 3 y \sin (3 x - y)$

خطوة 5.4.4

أخرِج العامل $y'$ من $y' (y \sin (3 x - y)) + y' (\cos (3 x - y))$ .

$y' (y \sin (3 x - y) + \cos (3 x - y)) + y' (- 6 x) = 6 y + 3 y \sin (3 x - y)$

خطوة 5.4.5

أخرِج العامل $y'$ من $y' (y \sin (3 x - y) + \cos (3 x - y)) + y' (- 6 x)$ .

$y' (y \sin (3 x - y) + \cos (3 x - y) - 6 x) = 6 y + 3 y \sin (3 x - y)$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $y' (y \sin (3 x - y) + \cos (3 x - y) - 6 x) = 6 y + 3 y \sin (3 x - y)$ على $y \sin (3 x - y) + \cos (3 x - y) - 6 x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $y' (y \sin (3 x - y) + \cos (3 x - y) - 6 x) = 6 y + 3 y \sin (3 x - y)$ على $y \sin (3 x - y) + \cos (3 x - y) - 6 x$ .

$\frac{y' (y \sin (3 x - y) + \cos (3 x - y) - 6 x)}{y \sin (3 x - y) + \cos (3 x - y) - 6 x} = \frac{6 y}{y \sin (3 x - y) + \cos (3 x - y) - 6 x} + \frac{3 y \sin (3 x - y)}{y \sin (3 x - y) + \cos (3 x - y) - 6 x}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y \sin (3 x - y) + \cos (3 x - y) - 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 5.5.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{6 y}{y \sin (3 x - y) + \cos (3 x - y) - 6 x} + \frac{3 y \sin (3 x - y)}{y \sin (3 x - y) + \cos (3 x - y) - 6 x}$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{6 y + 3 y \sin (3 x - y)}{y \sin (3 x - y) + \cos (3 x - y) - 6 x}$

خطوة 5.5.3.2

أخرِج العامل $3 y$ من $6 y + 3 y \sin (3 x - y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.2.1

أخرِج العامل $3 y$ من $6 y$ .

$y' = \frac{3 y (2) + 3 y \sin (3 x - y)}{y \sin (3 x - y) + \cos (3 x - y) - 6 x}$

خطوة 5.5.3.2.2

أخرِج العامل $3 y$ من $3 y \sin (3 x - y)$ .

$y' = \frac{3 y (2) + 3 y (\sin (3 x - y))}{y \sin (3 x - y) + \cos (3 x - y) - 6 x}$

خطوة 5.5.3.2.3

أخرِج العامل $3 y$ من $3 y (2) + 3 y (\sin (3 x - y))$ .

$y' = \frac{3 y (2 + \sin (3 x - y))}{y \sin (3 x - y) + \cos (3 x - y) - 6 x}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y (2 + \sin (3 x - y))}{y \sin (3 x - y) + \cos (3 x - y) - 6 x}$