حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\infty} 9 e^{- 9 x} d x$

خطوة 1

اكتب التكامل في صورة نهاية عند اقتراب $t$ من $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} 9 e^{- 9 x} d x$

خطوة 2

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $9$ خارج التكامل.

$lim_{t \to \infty} 9 \int_{0}^{t} e^{- 9 x} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = - 9 x$ . إذن $d u = - 9 d x$ ، لذا $- \frac{1}{9} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = - 9 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $- 9 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 9 x]$

خطوة 3.1.2

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 9 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 9 \cdot 1$

خطوة 3.1.4

اضرب $- 9$ في $1$ .

$- 9$

خطوة 3.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = - 9 x$ .

$u_{lower} = - 9 \cdot 0$

خطوة 3.3

اضرب $- 9$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 3.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = - 9 x$ .

$u_{upper} = - 9 t$

خطوة 3.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 9 t$

خطوة 3.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$lim_{t \to \infty} 9 \int_{0}^{- 9 t} e^{u} \frac{1}{- 9} d u$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{t \to \infty} 9 \int_{0}^{- 9 t} e^{u} (- \frac{1}{9}) d u$

خطوة 4.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{9}$ .

$lim_{t \to \infty} 9 \int_{0}^{- 9 t} - \frac{e^{u}}{9} d u$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$lim_{t \to \infty} 9 (- \int_{0}^{- 9 t} \frac{e^{u}}{9} d u)$

خطوة 6

اضرب $- 1$ في $9$ .

$lim_{t \to \infty} - 9 \int_{0}^{- 9 t} \frac{e^{u}}{9} d u$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{9}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{9}$ خارج التكامل.

$lim_{t \to \infty} - 9 (\frac{1}{9} \int_{0}^{- 9 t} e^{u} d u)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{9}$ و $- 9$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 9}{9} \int_{0}^{- 9 t} e^{u} d u$

خطوة 8.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 9$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أخرِج العامل $9$ من $- 9$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{9 \cdot - 1}{9} \int_{0}^{- 9 t} e^{u} d u$

خطوة 8.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أخرِج العامل $9$ من $9$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{9 \cdot - 1}{9 (1)} \int_{0}^{- 9 t} e^{u} d u$

خطوة 8.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{t \to \infty} \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1} \int_{0}^{- 9 t} e^{u} d u$

خطوة 8.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1}{1} \int_{0}^{- 9 t} e^{u} d u$

خطوة 8.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- 9 t} e^{u} d u$

خطوة 9

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{u}]_{0}^{- 9 t})$

خطوة 10

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

احسِب قيمة $e^{u}$ في $- 9 t$ وفي $0$ .

$lim_{t \to \infty} - ((e^{- 9 t}) - e^{0})$

خطوة 10.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{- 9 t} - 1 \cdot 1)$

خطوة 10.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{- 9 t} - 1)$

خطوة 11

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$- lim_{t \to \infty} e^{- 9 t} - 1$

خطوة 11.1.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $\infty$ .

$- (lim_{t \to \infty} e^{- 9 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 11.2

بما أن الأُس $- 9 t$ يقترب من $- \infty$ ، إذن الكمية $e^{- 9 t}$ تقترب من $0$ .

$- (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 11.3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $\infty$ .

$- (0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 11.3.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- (0 - 1)$

خطوة 11.3.2.2

اطرح $1$ من $0$ .

$- - 1$

خطوة 11.3.2.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1$