حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 \sqrt{y} - y = 2 x$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{y}$ في صورة $y^{\frac{1}{2}}$ .

$4 y^{\frac{1}{2}} - y = 2 x$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (4 y^{\frac{1}{2}} - y) = \frac{d}{d x} (2 x)$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 y^{\frac{1}{2}} - y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 y^{\frac{1}{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 y^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.2.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.2.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.2.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.2.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.2.7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.2.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$4 (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.2.9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.2.10

اجمع $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ و $y'$ .

$4 \frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2} + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.2.11

انقُل $y^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.2.12

اجمع $4$ و $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.2.13

أخرِج العامل $2$ من $4 y'$ .

$\frac{2 (2 y')}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.2.14

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.14.1

أخرِج العامل $2$ من $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 y')}{2 (y^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.2.14.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (2 y')}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.2.14.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y'$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 4.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y' = 2$

خطوة 6

أوجِد قيمة $y^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$y^{\frac{1}{2}}, 1, 1$

خطوة 6.1.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$y^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.2

اضرب كل حد في $\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y' = 2$ في $y^{\frac{1}{2}}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب كل حد في $\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y' = 2$ في $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} - y' y^{\frac{1}{2}} = 2 y^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} - y' y^{\frac{1}{2}} = 2 y^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 y' - y' y^{\frac{1}{2}} = 2 y^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

أوجِد العامل المشترك $y^{\frac{1}{2}}$ الموجود في كل حد.

$2 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - y' y^{\frac{1}{2}} - 2 y^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3.2

عوّض بقيمة $y^{\frac{1}{2}}$ التي تساوي $u$ .

$2 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - y' u - 2 u = 0$

خطوة 6.3.3

أوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1.1

اضرب الأُسس في ${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - y' u - 2 u = 0$

خطوة 6.3.3.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - y' u - 2 u = 0$

خطوة 6.3.3.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 {y'}^{1} - y' u - 2 u = 0$

خطوة 6.3.3.1.2

بسّط.

$2 y' - y' u - 2 u = 0$

خطوة 6.3.3.2

اطرح $2 y'$ من كلا المتعادلين.

$- y' u - 2 u = - 2 y'$

خطوة 6.3.3.3

أخرِج العامل $u$ من $- y' u - 2 u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.3.1

أخرِج العامل $u$ من $- y' u$ .

$u (- y') - 2 u = - 2 y'$

خطوة 6.3.3.3.2

أخرِج العامل $u$ من $- 2 u$ .

$u (- y') + u \cdot - 2 = - 2 y'$

خطوة 6.3.3.3.3

أخرِج العامل $u$ من $u (- y') + u \cdot - 2$ .

$u (- y' - 2) = - 2 y'$

خطوة 6.3.3.4

اقسِم كل حد في $u (- y' - 2) = - 2 y'$ على $- y' - 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.4.1

اقسِم كل حد في $u (- y' - 2) = - 2 y'$ على $- y' - 2$ .

$\frac{u (- y' - 2)}{- y' - 2} = \frac{- 2 y'}{- y' - 2}$

خطوة 6.3.3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- y' - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{u (- y' - 2)}{- y' - 2} = \frac{- 2 y'}{- y' - 2}$

خطوة 6.3.3.4.2.1.2

اقسِم $u$ على $1$ .

$u = \frac{- 2 y'}{- y' - 2}$

خطوة 6.3.3.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.4.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$u = - \frac{2 y'}{- y' - 2}$

خطوة 6.3.3.4.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- y'$ .

$u = - \frac{2 y'}{- y' - 2}$

خطوة 6.3.3.4.3.3

أعِد كتابة $- 2$ بالصيغة $- 1 (2)$ .

$u = - \frac{2 y'}{- y' - 1 (2)}$

خطوة 6.3.3.4.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- y' - 1 (2)$ .

$u = - \frac{2 y'}{- (y' + 2)}$

خطوة 6.3.3.4.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.4.3.5.1

أعِد كتابة $- (y' + 2)$ بالصيغة $- 1 (y' + 2)$ .

$u = - \frac{2 y'}{- 1 (y' + 2)}$

خطوة 6.3.3.4.3.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$u = - - \frac{2 y'}{y' + 2}$

خطوة 6.3.3.4.3.5.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$u = 1 \frac{2 y'}{y' + 2}$

خطوة 6.3.3.4.3.5.4

اضرب $\frac{2 y'}{y' + 2}$ في $1$ .

$u = \frac{2 y'}{y' + 2}$

خطوة 6.3.4

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $y'$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 y'}{y' + 2}$

خطوة 7

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y'}{y' + 2}$