حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 1

اكتب التكامل في صورة نهاية عند اقتراب $t$ من $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

خطوة 3

تكامل $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\arctan (x)]_{0}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{0}^{t}$

خطوة 4

احسِب قيمة $\arctan (x)$ في $t$ وفي $0$ .

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

خطوة 5

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (0)$

خطوة 5.2

النهاية عند اقتراب $t$ من $\infty$ هي $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (0)$

خطوة 5.3

احسِب قيمة حد $\arctan (0)$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $\infty$ .

$\frac{π}{2} - \arctan (0)$

خطوة 5.4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (0)$ هي $0$ .

$\frac{π}{2} - 0$

خطوة 5.4.1.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{π}{2} + 0$

خطوة 5.4.2

أضف $\frac{π}{2}$ و $0$ .

$\frac{π}{2}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{π}{2}$

الصيغة العشرية:

$1.57079632 \dots$