حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(x y)}^{x} = e$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} ({(x y)}^{x}) = \frac{d}{d x} (e)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط الاشتقاق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أعِد كتابة ${(x y)}^{x}$ بالصيغة $e^{\ln ({(x y)}^{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(x y)}^{x})}]$

خطوة 2.1.2

وسّع $\ln ({(x y)}^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x y)}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x \ln (x y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x \ln (x y)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x y)]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (x y)]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x \ln (x y)$ .

$e^{x \ln (x y)} \frac{d}{d x} [x \ln (x y)]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \ln (x y)$ .

$e^{x \ln (x y)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x y)] + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x y$ .

$e^{x \ln (x y)} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x y]) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.4.2

مشتق $\ln (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x \ln (x y)} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x y]) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x y$ .

$e^{x \ln (x y)} (x (\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اجمع $\frac{1}{x y}$ و $x$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{x}{x y} \frac{d}{d x} [x y] + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{x \ln (x y)} (\frac{x}{x y} \frac{d}{d x} [x y] + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x y] + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.7

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y' + y \cdot 1) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.9

اضرب $y$ في $1$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y' + y) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y' + y) + \ln (x y) \cdot 1)$

خطوة 2.11

اضرب $\ln (x y)$ في $1$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y' + y) + \ln (x y))$

خطوة 2.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y') + \frac{1}{y} y + \ln (x y))$

خطوة 2.12.2

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y')) + e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} y) + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

خطوة 2.12.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.3.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{y}$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{x}{y} y') + e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} y) + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

خطوة 2.12.3.2

اجمع $\frac{x}{y}$ و $y'$ .

$e^{x \ln (x y)} \frac{x y'}{y} + e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} y) + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

خطوة 2.12.3.3

اجمع $e^{x \ln (x y)}$ و $\frac{x y'}{y}$ .

$\frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} y) + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

خطوة 2.12.3.4

اجمع $\frac{1}{y}$ و $y$ .

$\frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)} \frac{y}{y} + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

خطوة 2.12.3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.3.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)} \frac{y}{y} + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

خطوة 2.12.3.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)} \cdot 1 + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

خطوة 2.12.3.6

اضرب $e^{x \ln (x y)}$ في $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)} + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

خطوة 2.12.4

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + \frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)}$

خطوة 3

بما أن $e$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $e$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + \frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)} = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + \frac{e^{x \ln (x y)} x y'}{y} + e^{x \ln (x y)}$ .

$e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + \frac{x y' e^{x \ln (x y)}}{y} + e^{x \ln (x y)} = 0$

خطوة 5.1.2

أعِد ترتيب $x$ و $y'$ .

$e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + \frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} + e^{x \ln (x y)} = 0$

خطوة 5.1.3

أعِد ترتيب $e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$ و $\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y}$ .

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} + e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + e^{x \ln (x y)} = 0$

خطوة 5.2

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} + e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + e^{x \ln (x y)}$ .

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} + \ln (x y) e^{x \ln (x y)} + e^{x \ln (x y)} = 0$

خطوة 5.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اطرح $\ln (x y) e^{x \ln (x y)}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} + e^{x \ln (x y)} = - \ln (x y) e^{x \ln (x y)}$

خطوة 5.3.2

اطرح $e^{x \ln (x y)}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} = - \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - e^{x \ln (x y)}$

خطوة 5.4

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} y = (- \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - e^{x \ln (x y)}) y$

خطوة 5.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} y = (- \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - e^{x \ln (x y)}) y$

خطوة 5.5.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' x e^{x \ln (x y)} = (- \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - e^{x \ln (x y)}) y$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

بسّط $(- \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - e^{x \ln (x y)}) y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y' x e^{x \ln (x y)} = - \ln (x y) e^{x \ln (x y)} y - e^{x \ln (x y)} y$

خطوة 5.5.2.1.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $- \ln (x y) e^{x \ln (x y)} y - e^{x \ln (x y)} y$ .

$y' x e^{x \ln (x y)} = - \ln (x y) y e^{x \ln (x y)} - y e^{x \ln (x y)}$

خطوة 5.5.2.1.2.2

انقُل $\ln (x y)$ .

$y' x e^{x \ln (x y)} = - y \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - y e^{x \ln (x y)}$

خطوة 5.6

اقسِم كل حد في $y' x e^{x \ln (x y)} = - y \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - y e^{x \ln (x y)}$ على $x e^{x \ln (x y)}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

اقسِم كل حد في $y' x e^{x \ln (x y)} = - y \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - y e^{x \ln (x y)}$ على $x e^{x \ln (x y)}$ .

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} = \frac{- y \ln (x y) e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

خطوة 5.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} = \frac{- y \ln (x y) e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

خطوة 5.6.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' e^{x \ln (x y)}}{e^{x \ln (x y)}} = \frac{- y \ln (x y) e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

خطوة 5.6.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x \ln (x y)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' e^{x \ln (x y)}}{e^{x \ln (x y)}} = \frac{- y \ln (x y) e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

خطوة 5.6.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- y \ln (x y) e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

خطوة 5.6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x \ln (x y)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{- y \ln (x y) e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

خطوة 5.6.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- y \ln (x y)}{x} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

خطوة 5.6.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y \ln (x y)}{x} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

خطوة 5.6.3.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x \ln (x y)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{y \ln (x y)}{x} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

خطوة 5.6.3.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{y \ln (x y)}{x} + \frac{- y}{x}$

خطوة 5.6.3.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y \ln (x y)}{x} - \frac{y}{x}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \ln (x y)}{x} - \frac{y}{x}$